Calcule as seguintes integrais iteradas. Se necessário inverta a ordem de integração.
(f) integral-2^2 integralx^2^4 x^2 y d y d x

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral iterada integralx=-2^2integraly=x^2^4 x^2,y,dy,dx, que é basicamente uma integral dupla de f(x,y)=x^2y sobre a região D=(x,y):-2<= x<=2,;x^2<= y<=4. Se a ordem pudesse atrapalhar, inverteríamos, mas aqui dá para integrar direto.

Passo 2

Vamos primeiro calcular a integral interna em y:
integraly=x^2^4 x^2,y,dy = x^2[y^22]y=x^2^y=4 = x^2gl(162-x^42gr) = 12l(16x^2 - x^6r)

Passo 3

Agora fazemos a integral em x:
integral-2^2 12l(16x^2 - x^6r) dx = 12l(16!integral-2^2x^2dx - integral-2^2x^6dxr)
Como x^2 e x^6 são funções pares, usamos
integral-2^2x^2ndx = 2integral0^2 x^2ndx
Então
integral-2^2x^2dx = 2cdotx^33|0^2 = 2cdot83 = 163,
integral-2^2x^6dx = 2cdotx^77|0^2 = 2cdot1287 = 2567

Passo 4

Substituindo de volta,
12l(16cdot163 - 2567r) = 12l(2563 - 2567r) = 128l(13-17r) = 128cdot421 = 51221

Resposta

51221

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