Calcule as seguintes integrais iteradas. Se necessário inverta a ordem de integração.
(g)
(g)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral iterada
. Isso envolve integração dupla, onde primeiro integramos em
e depois em
. Para resolver isso, pode ser necessário inverter a ordem de integração, o que muitas vezes simplifica os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. Originalmente,
varia de 0 a 1, e para cada
,
varia de
até 1. Se a gente desenhar isso no plano
, percebemos que para inverter a ordem,
vai de 0 a 1, e para cada
,
vai de 0 até
(já que
é o inverso de
).
Passo 3
Agora, vamos inverter a ordem da integração. A integral fica assim:
Isso geralmente facilita porque a integração em
fica mais simples.
Passo 4
Vamos resolver a integral interna, que é em relação a
:
Fazemos uma substituição simples: seja
, então
, ou seja,
. A integral vira:
Passo 5
Agora, substituímos isso na integral externa:
A primeira integral é $\frac{1}{2} e{x{2}} $ e a segunda é
. Avaliando de 0 a 1, temos:
Resposta
O valor da integral é
.