Calcule as seguintes integrais iteradas. Se necessário inverta a ordem de integração.
(g) integral0^1 integraly^13^1 e^yx d x d y

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral iterada integral0^1 integraly^13^1 e^yx , dx , dy. Isso envolve integração dupla, onde primeiro integramos em x e depois em y. Para resolver isso, pode ser necessário inverter a ordem de integração, o que muitas vezes simplifica os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. Originalmente, y varia de 0 a 1, e para cada y, x varia de y^13 até 1. Se a gente desenhar isso no plano xy, percebemos que para inverter a ordem, x vai de 0 a 1, e para cada x, y vai de 0 até x^3 (já que y = x^3 é o inverso de x = y^1/3).

Passo 3

Agora, vamos inverter a ordem da integração. A integral fica assim:
integral0^1 integral0^x^3 e^yx , dy , dx
Isso geralmente facilita porque a integração em y fica mais simples.

Passo 4

Vamos resolver a integral interna, que é em relação a y:
integral0^x^3 e^yx , dy
Fazemos uma substituição simples: seja u = yx, então du = 1x dy, ou seja, dy = x , du. A integral vira:
x integral0^x^2 e^u , du = x ( e^u )0^x^2 = x ( e^x^2 - 1 )

Passo 5

Agora, substituímos isso na integral externa:
integral0^1 x ( e^x^2 - 1 ) , dx = integral0^1 x e^x^2 , dx - integral0^1 x , dx
A primeira integral é $\frac{1}{2} e{x{2}} $ e a segunda é 12 e^x^2 . Avaliando de 0 a 1, temos:
12 x^2

Resposta

O valor da integral é e - 22.

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