Calcule as seguintes integrais iteradas. Se necessário inverta a ordem de integração.
(d) integral0^1 integraly^1 11+x^4 d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral dupla . Esse exercício faz parte do estudo de integrais iteradas na matéria de Cálculo Integral. Para resolver, a gente pode precisar mudar a ordem de integração, dependendo de como a região está descrita.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. Temos variando de 0 a 1, e para cada , varia de a 1. Isso significa que estamos integrando sobre a região onde , já que começa no valor de .

Passo 3

Agora, vamos desenhar essa região no plano . Imagine um quadrado onde e vão de 0 a 1. A condição corresponde à área acima da reta . Isso facilita para trocar a ordem das integrais.

Passo 4

Vamos inverter a ordem de integração. Originalmente, estamos integrando primeiro em integral0^1 integral0^x 11+x^4 , dy , dx de a 1, depois em de 0 a 1. Ao inverter, vai de 0 a 1, e para cada , vai de 0 a .
Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral interna em integral0^x 11+x^4 , dy = 11+x^4 cdot y |0^x = x1+x^4 . Observa que não depende de , então podemos integrá-la facilmente:

Passo 6

Agora, a integral se simplifica para:
integral0^1 x1+x^4 , dx
Vamos resolver essa integral usando substituição. Seja , então . Mas notamos que nossa integral tem no numerador, então precisamos ajustar.
Vamos tentar outra substituição: seja , então , ou seja, .

Passo 7

Fazendo a substituição 12 integral 11 + u^2 , du , a integral fica:
12 arctan(u) + C = 12 arctan(x^2) + C
Sabemos que a integral de é , então:

Passo 8

Agora, avaliamos a integral definida de 0 a 1:
12 [ arctan(1^2) - arctan(0^2) ] = 12 ( arctan(1) - arctan(0) )
Sabemos que 12 ( pi4 - 0 ) = pi8 e , então:

Resposta

O valor da integral dupla é .

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