Calcule as seguintes integrais iteradas. Se necessário inverta a ordem de integração.
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral dupla . Esse exercício faz parte do estudo de integrais iteradas na matéria de Cálculo Integral. Para resolver, a gente pode precisar mudar a ordem de integração, dependendo de como a região está descrita.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. Temos variando de 0 a 1, e para cada , varia de a 1. Isso significa que estamos integrando sobre a região onde , já que começa no valor de .
Passo 3
Agora, vamos desenhar essa região no plano . Imagine um quadrado onde e vão de 0 a 1. A condição corresponde à área acima da reta . Isso facilita para trocar a ordem das integrais.
Passo 4
Vamos inverter a ordem de integração. Originalmente, estamos integrando primeiro em de a 1, depois em de 0 a 1. Ao inverter, vai de 0 a 1, e para cada , vai de 0 a .
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral interna em . Observa que não depende de , então podemos integrá-la facilmente:
Passo 6
Agora, a integral se simplifica para:
integral0^1 x1+x^4 , dx
Vamos resolver essa integral usando substituição. Seja , então . Mas notamos que nossa integral tem no numerador, então precisamos ajustar.
Vamos tentar outra substituição: seja , então , ou seja, .
Passo 7
Fazendo a substituição 12 integral 11 + u^2 , du , a integral fica: