Calcule as seguintes integrais iteradas. Se necessário inverta a ordem de integração.
(e) integral-1^3 integralx^2^2 x+3 x d y d x

Passo 1

Então, temos um exercício de cálculo de integrais duplas, onde precisamos calcular a integral iterada integral-1^3 integralx^2^2 x+3 x , dy , dx. Vamos usar conceitos de integrais duplas e, se necessário, inverter a ordem de integração para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. A integral está definida para x variando de -1 a 3 e, para cada x, y varia de x^2 até 2x + 3. Isso significa que estamos integrando sobre uma área limitada pelas curvas y = x^2 e y = 2x + 3.

Passo 3

Para facilitar o cálculo, vamos verificar se é melhor inverter a ordem de integração. Às vezes, isso simplifica os limites de integração e torna a integral mais fácil de resolver.

Passo 4

Para inverter a ordem, precisamos expressar x em termos de y e determinar os novos limites. As curvas y = x^2 e y = 2x + 3 se intersectam quando x^2 = 2x + 3. Resolvendo essa equação quadrática:
x^2 - 2x - 3 = 0 x = 2 pm raiz4 + 122 = 2 pm raiz162 = 2 pm 42 x = 3 ou x = -1
Portanto, os limites de y vão de 1 a 9 (já que y = x^2 quando x = -1 e x = 3).
Para cada valor de y entre 1 e 9, x varia de y - 32 (resolvendo y = 2x + 3 para x) até raizy (resolvendo y = x^2 para x).

Passo 5

Agora, reescrevemos a integral com a ordem de integração invertida:
integral1^9 integraly - 32^raizy x , dx , dy

Passo 6

Vamos resolver a integral interna primeiro:
integraly - 32^raizy x , dx = [ x^22 ]y - 32^raizy = (raizy)^22 - ( y - 32 )^22 = y2 - (y - 3)^28
Agora, substituímos na integral externa:
integral1^9 ( y2 - (y - 3)^28 ) dy
Vamos simplificar e integrar termo a termo:
integral1^9 y2 , dy = 12 [ y^22 ]1^9 = 14 (81 - 1) = 804 = 20
integral1^9 (y - 3)^28 , dy = 18 integral1^9 (y^2 - 6y + 9) , dy = 18 [ y^33 - 3y^2 + 9y ]1^9
Calculando os limites:
Para y = 9:
9^33 - 3 cdot 9^2 + 9 cdot 9 = 243 - 243 + 81 = 81
Para y = 1:
1^33 - 3 cdot 1^2 + 9 cdot 1 = 13 - 3 + 9 = 13 + 6 = 193
Então:
18 (81 - 193) = 18 (243 - 193) = 18 cdot 2243 = 22424 = 283
Agora, subtraímos os dois resultados:
20 - 283 = 603 - 283 = 323

Resposta

O valor da integral é 323.

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