Calcule as seguintes integrais iteradas. Se necessário inverta a ordem de integração.
(e)
(e)
Passo 1
Então, temos um exercício de cálculo de integrais duplas, onde precisamos calcular a integral iterada
. Vamos usar conceitos de integrais duplas e, se necessário, inverter a ordem de integração para facilitar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. A integral está definida para
variando de
a
e, para cada
,
varia de
até
. Isso significa que estamos integrando sobre uma área limitada pelas curvas
e
.
Passo 3
Para facilitar o cálculo, vamos verificar se é melhor inverter a ordem de integração. Às vezes, isso simplifica os limites de integração e torna a integral mais fácil de resolver.
Passo 4
Para inverter a ordem, precisamos expressar
em termos de
e determinar os novos limites. As curvas
e
se intersectam quando
. Resolvendo essa equação quadrática:
Portanto, os limites de
vão de
a
(já que
quando
e
).
Para cada valor de
entre
e
,
varia de
(resolvendo
para
) até
(resolvendo
para
).
Passo 5
Agora, reescrevemos a integral com a ordem de integração invertida:
Passo 6
Vamos resolver a integral interna primeiro:
Agora, substituímos na integral externa:
Vamos simplificar e integrar termo a termo:
Calculando os limites:
Para
:
Para
:
Então:
Agora, subtraímos os dois resultados:
Resposta
O valor da integral é
.