Calcule as seguintes integrais iteradas. Se necessário inverta a ordem de integração.
(h) integral0^pi integralx^pi sen yy d y d x

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular a integral iterada
integral0^piintegralx^pi sen yy,dy,dx
O conteúdo é troca de ordem de integração em integrais duplas e depois avaliação de uma integral simples.

Passo 2

O domínio de integração é
D=(x,y):0<= x<= pi,;x<= y<= pi
Para inverter a ordem, percebemos que y varia de 0 até pi e, para cada y, x varia de 0 até y.

Passo 3

Invertendo a ordem de integração, escrevemos
integral0^piintegralx^pi sen yy,dy,dx =integral0^piintegral0^y sen yy,dx,dy
Aqui a função de x é constante, então a integral interna em x (y-0)=y.

Passo 4

Substituindo o resultado da integração em x, obtemos
integral0^pi sen yy,l(integral0^ydxr),dy =integral0^pi sen yy,y,dy =integral0^pi sen y,dy
Agora é só integrar seno.

Passo 5

A integral de seny de 0 a pi vale
integral0^pi sen y,dy=[-cos y]0^pi=(-cospi)-(-cos0)=2

Resposta

2

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