Calcule a transformada de Fourier das funções a seguir (em todos os casos,
).
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a transformada de Fourier da função f(x)=e^{-a|x|}, com a>0. O conteúdo central aqui é usar a definição integral da transformada de Fourier para funções definidas por partes e lidar com integrais exponenciais.
Passo 2
A definição que vamos usar é
Passo 3
Como f(x)=e^{-a|x|} muda de forma em x<0 e x>0, dividimos a integral em duas partes:
Passo 4
Cada uma dessas integrais é do tipo
. No intervalo x>0 usamos
, então
e, para x<0, trocamos x= -t ou notamos que é
Passo 5
Somando as duas contribuições:
Passo 6
Portanto, concluímos o resultado da transformada de Fourier.