Calcule a transformada de Fourier das funções a seguir (em todos os casos, a>0 ).
f(x)=e^-|x|.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada de Fourier da função f(x)=e^{-a|x|}, com a>0. O conteúdo central aqui é usar a definição integral da transformada de Fourier para funções definidas por partes e lidar com integrais exponenciais.

Passo 2

A definição que vamos usar é
Ff(x)(omega)=integral-infty^+inftyf(x)e^-iomega x,dx

Passo 3

Como f(x)=e^{-a|x|} muda de forma em x<0 e x>0, dividimos a integral em duas partes:
integral-infty^+inftye^-a|x|e^-iomega xdx=integral-infty^0e^axe^-iomega xdx+integral0^+inftye^-axe^-iomega xdx

Passo 4

Cada uma dessas integrais é do tipo integral e^-alpha xdx. No intervalo x>0 usamos alpha=a+iomega, então
integral0^+inftye^-(a+iomega)xdx=1a+iomega
e, para x<0, trocamos x= -t ou notamos que é integral-infty^0e^(a-iomega)xdx=integral0^+inftye^-(a-iomega)tdt=1a-iomega

Passo 5

Somando as duas contribuições:
1a+iomega+1a-iomega=(a-iomega)+(a+iomega)(a+iomega)(a-iomega)=2aa^2+omega^2

Passo 6

Portanto, concluímos o resultado da transformada de Fourier.

Resposta

Fe^-a|x|(omega)=dfrac2aa^2+omega^2

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