Calcule as seguintes integrais verificando, por meio da derivação, se a resposta encontrada está correta (somente do item a ) até o item f ):
p) integral x^23 raizx^2+9 d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular integralx^23raizx^2+9,dx, que envolve integração de funções com raiz quadrada. Vamos usar decomposição do integrando e fórmulas de primitiva de funções do tipo raizx^2+a^2 e (x^2+a^2)^-1/2. Em seguida, verificamos a resposta por derivação.

Passo 2

Primeiro, note que
x^23raizx^2+9=13x^2raizx^2+9 Para simplificar, escrevemos x^2=(x^2+9)-9. Assim,
x^2raizx^2+9=raizx^2+9-9raizx^2+9 Logo, a integral fica
integralx^23raizx^2+9,dx=13integrall(raizx^2+9-9(x^2+9)^-1/2r)dx

Passo 3

Agora usamos as primitivação conhecidas:
(i) integralraizx^2+a^2,dx=x2raizx^2+a^2+a^22lnl(x+raizx^2+a^2r)+C.
(ii) integral(x^2+a^2)^-1/2dx=lnl(x+raizx^2+a^2r)+C.
Aplicando com a=3, temos
13l[x2raizx^2+9+92ln(x+raizx^2+9)-9ln(x+raizx^2+9)r]+C Isso se simplifica para
xraizx^2+96+96ln(x+raizx^2+9)-93ln(x+raizx^2+9)+C Reunindo os termos de logaritmo, obtemos
xraizx^2+96-32lnl(x+raizx^2+9r)+C

Passo 4

Para verificar, derivamos
F(x)=xraizx^2+96-32lnl(x+raizx^2+9r) Usando regra do produto e da cadeia, chega-se a
F'(x)=x^23raizx^2+9, que é exatamente o integrando original.

Resposta

xraizx^2+96-32lnl(x+raizx^2+9r)+C

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