Calcule a transformada de Fourier das funções a seguir (em todos os casos, a>0 ).
f(x)= 1 & se |x|a

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada de Fourier da função em caixa (retângulo) dada por
f(x)=1,&|x|a,
sendo a>0. O conteúdo aqui é a definição de transformada de Fourier e a técnica de integração de exponencial complexa.

Passo 2

Vamos usar a definição de transformada de Fourier sem fatores de normalização adicionais, ou seja:
Ff(omega)=integral-infty^+inftyf(x)e^-iomega x,dx
Como f(x) é diferente de zero só em [-a,a], reduzimos o domínio da integral.

Passo 3

Escrevemos a integral sobre [-a,a]:
Ff(omega)=integral-a^ae^-iomega x,dx
Para integrar a exponencial complexa, usamos a primitiva de e^-iomega x, que é -tfrac1iomegae^-iomega x.

Passo 4

Aplicando o teorema fundamental do cálculo:
integral-a^ae^-iomega x,dx=l[-1iomegae^-iomega xr]x=-a^x=a = -1iomegal(e^-iomega a-e^iomega ar)
Reescrevemos a diferença de exponenciais usando a identidade e^itheta-e^-itheta=2isintheta.

Passo 5

Ao aplicar a identidade obtemos
-1iomegal(e^-iomega a-e^iomega ar) =e^iomega a-e^-iomega aiomega =2isin(omega a)iomega =2sin(omega a)omega

Passo 6

Portanto, a transformada de Fourier da função caixa é dada por

Passo 7

Finalizando, temos o resultado fechado para Ff(omega).

Resposta

Ff(omega)=2sin(omega a)omega

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