Calcule a transformada de Fourier das funções a seguir (em todos os casos,
).
Passo 1
O enunciado pede para calcular a transformada de Fourier da função em caixa (retângulo) dada por
sendo
. O conteúdo aqui é a definição de transformada de Fourier e a técnica de integração de exponencial complexa.
Passo 2
Vamos usar a definição de transformada de Fourier sem fatores de normalização adicionais, ou seja:
Como
é diferente de zero só em
, reduzimos o domínio da integral.
Passo 3
Escrevemos a integral sobre
:
Para integrar a exponencial complexa, usamos a primitiva de
, que é
.
Passo 4
Aplicando o teorema fundamental do cálculo:
Reescrevemos a diferença de exponenciais usando a identidade
.
Passo 5
Ao aplicar a identidade obtemos
Passo 6
Portanto, a transformada de Fourier da função caixa é dada por
Passo 7
Finalizando, temos o resultado fechado para
.