Calcule as seguintes integrais iteradas. Se necessário inverta a ordem de integração.
© integral0^1 integralx^raizx(2 x-y) d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral iterada . Esse exercício faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente integrais duplas. Para resolver, vamos precisar entender como calcular integrais iteradas e, se necessário, inverter a ordem de integração. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. Temos variando de 0 a 1 e, para cada , varia de a . Vamos esboçar essa região para visualizar melhor.
Para entre 0 e 1:
  • é a linha diagonal.
  • é a curva da raiz quadrada.
No intervalo [0,1], , então a região está entre essas duas curvas.

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral iterada na ordem dada:
integral0^1 integralx^raizx (2x - y) , dy , dx
Primeiro, integramos em relação a integralx^raizx (2x - y) , dy :
2x y - y^22 |y = x^y = raizx
A integral de em relação a é , e a integral de é . Então:

Passo 4

Substituindo os limites de 2x raizx - (raizx)^22 - ( 2x cdot x - x^22 ) :
2x raizx - x2 - (2x^2 - x^22)
Simplificando cada termo:
= 2x^3/2 - x2 - 2x^2 + x^22
= 2x^3/2 - x2 - 3x^22

Passo 5

Agora, vamos integrar essa expressão em relação a integral0^1 ( 2x^3/2 - x2 - 3x^22 ) dx de 0 a 1:
Vamos integrar termo a termo:

Passo 6

Agora, somamos as integrais:
45 x^5/2 - x^24 - x^32 |0^1
Substituindo 45 (1)^5/2 - 1^24 - 1^32 = 45 - 14 - 12 :
Substituindo :
Todos os termos serão zero.

Passo 7

Calculando os valores:
45 - 14 - 12 = 1620 - 520 - 1020 = 16 - 5 - 1020 = 120

Resposta

O valor da integral é .

Exercícios relacionados