Beleza, vamos resolver a integral iterada . Esse exercício faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente integrais duplas. Para resolver, vamos precisar entender como calcular integrais iteradas e, se necessário, inverter a ordem de integração. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. Temos variando de 0 a 1 e, para cada , varia de a . Vamos esboçar essa região para visualizar melhor.
Para entre 0 e 1:
é a linha diagonal.
é a curva da raiz quadrada.
No intervalo [0,1], , então a região está entre essas duas curvas.
Passo 3
Agora, vamos calcular a integral iterada na ordem dada:
Primeiro, integramos em relação a :
A integral de em relação a é , e a integral de é . Então:
Passo 4
Substituindo os limites de 2x raizx - (raizx)^22 - ( 2x cdot x - x^22 ) :
2x raizx - x2 - (2x^2 - x^22)
Simplificando cada termo:
= 2x^3/2 - x2 - 2x^2 + x^22
= 2x^3/2 - x2 - 3x^22
Passo 5
Agora, vamos integrar essa expressão em relação a integral0^1 ( 2x^3/2 - x2 - 3x^22 ) dx de 0 a 1: