Calcule as seguintes integrais iteradas. Se necessário inverta a ordem de integração.
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral iterada, que faz parte do conteúdo de Cálculo Integral. Precisamos entender como resolver integrais duplas e verificar se é necessário trocar a ordem de integração. A integral que temos é:
Vamos resolver passo a passo para chegar na resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a integral interna, que é com relação a $ y $. A função que estamos integrando é $ (1 + x) $, e os limites de integração para $ y $ vão de 0 até $ x $. Como a função $ (1 + x) $ não depende de $ y $, a integração em relação a $ y $ é simples.
Passo 3
Vamos calcular a integral interna:
Como $ (1 + x) $ é constante em relação a $ y $, a integral fica:
Passo 4
Agora, substituímos os limites de $ y $:
Então, a integral interna resulta em $ x(1 + x) $.
Passo 5
Agora, vamos substituir esse resultado na integral externa:
Vamos expandir a expressão dentro da integral para facilitar o cálculo:
Passo 6
Vamos integrar termo a termo:
Calculando cada integral:
Passo 7
Agora, somamos os resultados das integrais:
Resposta
O valor da integral iterada é $ \frac{5}{6} $.