Calcule as seguintes integrais iteradas. Se necessário inverta a ordem de integração.
(b) integral0^1 integral0^x(1+x) d y d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral iterada, que faz parte do conteúdo de Cálculo Integral. Precisamos entender como resolver integrais duplas e verificar se é necessário trocar a ordem de integração. A integral que temos é:
integral0^1 integral0^x(1+x) ,dy, dx
Vamos resolver passo a passo para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a integral interna, que é com relação a $ y $. A função que estamos integrando é $ (1 + x) $, e os limites de integração para $ y $ vão de 0 até $ x $. Como a função $ (1 + x) $ não depende de $ y $, a integração em relação a $ y $ é simples.

Passo 3

Vamos calcular a integral interna:
integral0^x(1 + x) ,dy
Como $ (1 + x) $ é constante em relação a $ y $, a integral fica:
(1 + x)

Passo 4

Agora, substituímos os limites de $ y $:
y
Então, a integral interna resulta em $ x(1 + x) $.

Passo 5

Agora, vamos substituir esse resultado na integral externa:
integral0^1 x(1 + x) ,dx
Vamos expandir a expressão dentro da integral para facilitar o cálculo:
integral0^1 (x + x^2) ,dx

Passo 6

Vamos integrar termo a termo:
integral0^1 x ,dx + integral0^1 x^2 ,dx
Calculando cada integral:
integral0^1 x ,dx = 12x^2 |0^1 = 12(1)^2 - 12(0)^2 = 12
integral0^1 x^2 ,dx = 13x^3 |0^1 = 13(1)^3 - 13(0)^3 = 13

Passo 7

Agora, somamos os resultados das integrais:
12 + 13 = 36 + 26 = 56

Resposta

O valor da integral iterada é $ \frac{5}{6} $.

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