Calcule o seguinte limite:
lim x pm infty(raiz4 x^2+3 x-1+2 x).

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
limxtopminftyl(raiz4x^2+3x-1+2xr). O conteúdo aqui é limites no infinito de funções que envolvem raízes quadráticas. Para resolver, vamos usar a técnica de racionalização e fatoração assintótica.

Passo 2

Para racionalizar a expressão, multiplicamos pelo conjugado. Temos:
raiz4x^2+3x-1+2x =l(raiz4x^2+3x-1+2xr)l(raiz4x^2+3x-1-2xr)raiz4x^2+3x-1-2x =4x^2+3x-1-4x^2raiz4x^2+3x-1-2x =3x-1raiz4x^2+3x-1-2x

Passo 3

Analisando xto+infty: para x>0 podemos escrever raiz4x^2+3x-1=xraiz4+tfrac3x-tfrac1x^2. Logo
3x-1raiz4x^2+3x-1-2x =xl(3-tfrac1xr)xl(raiz4+tfrac3x-tfrac1x^2-2r) =3-tfrac1xraiz4+tfrac3x-tfrac1x^2-2
Quando xto+infty, o numerador tende a 3 e o denominador a raiz4-2=0^+, o que faz o quociente divergir para +infty.

Passo 4

Analisando xto-infty: para x<0 temos raiz4x^2+3x-1=-xraiz4+tfrac3x-tfrac1x^2. Então
3x-1raiz4x^2+3x-1-2x =xl(3-tfrac1xr)-xl(raiz4+tfrac3x-tfrac1x^2+2r) =3-tfrac1x-l(raiz4+tfrac3x-tfrac1x^2+2r)
Nesse caso, quando xto-infty o numerador tende a 3 e o denominador a -4, resultando em -3/4).

Passo 5

Portanto, juntando os resultados, o limite para xto+infty diverge para +infty, e para xto-infty vale -3/4).

Resposta

limxto+inftyl(raiz4x^2+3x-1+2xr)=+infty e limxto-inftyl(raiz4x^2+3x-1+2xr)=-tfrac34.

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