Calcule as seguintes integrais iteradas sobre o retângulo R dado:
\iint_{R} \frac{1+x^{2}}{1+y^{2}} d A, \quad R=[0,1] \times[0,1].

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R}\frac{1+x^{2}}{1+y^{2}}\,dA,
onde R=[0,1]\times[0,1]. O conteúdo usado será o Teorema de Fubini para retângulos e a separação de variáveis, já que a função no integrando se escreve como produto de uma parte que depende só de x e outra que depende só de y.

Passo 2

Pela separabilidade, temos
\frac{1+x^{2}}{1+y^{2}} =\bigl(1+x^{2}\bigr)\cdot\frac{1}{1+y^{2}},
e pelo Teorema de Fubini
\iint_{R}\frac{1+x^{2}}{1+y^{2}}\,dA =\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{1}\frac{1+x^{2}}{1+y^{2}}\,dx\,dy =\Bigl(\int_{0}^{1}(1+x^{2})\,dx\Bigr)\;\Bigl(\int_{0}^{1}\frac{1}{1+y^{2}}\,dy\Bigr).

Passo 3

Calculemos
\int_{0}^{1}(1+x^{2})\,dx =\left[x+\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1} =1+\frac{1}{3} =\frac{4}{3}.

Passo 4

Agora
\int_{0}^{1}\frac{1}{1+y^{2}}\,dy =\bigl[\arctan(y)\bigr]_{0}^{1} =\arctan(1)-\arctan(0) =\frac{\pi}{4}-0 =\frac{\pi}{4}.

Passo 5

Multiplicando os resultados:
\iint_{R}\frac{1+x^{2}}{1+y^{2}}\,dA =\frac{4}{3}\cdot\frac{\pi}{4} =\frac{\pi}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{3}

Exercícios relacionados