Determine o volume do sólido S indicado, se
S está abaixo do plano x+2 y+z-4=0 e acima do retângulo R=[0,1] \times[0,1].

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido S limitado acima pelo plano
x+2y+z-4=0
e abaixo do retângulo R=[0,1]\times[0,1] no plano xy. O conteúdo aqui é calcular volume sob a superfície z=4-x-2y usando integral dupla.

Passo 2

Reescrevemos a equação do plano como
z = 4 - x - 2y.
Então o volume de S é dado por
V = \iint_{R}\bigl(\text{altura no ponto }(x,y)\bigr)\,dA = \iint_{R}(4 - x - 2y)\,dA,
com R=[0,1]\times[0,1].

Passo 3

Calculamos primeiro a integral em x:
\int_{0}^{1}(4 - x - 2y)\,dx = \Bigl[\,4x - \tfrac{x^2}{2} - 2yx\Bigr]_{0}^{1} =4 - \tfrac12 - 2y =\tfrac72 - 2y.

Passo 4

Em seguida, integramos em y:
\int_{0}^{1}\bigl(\tfrac72 - 2y\bigr)\,dy = \Bigl[\tfrac72\,y - y^2\Bigr]_{0}^{1} =\tfrac72 - 1 =\tfrac52.

Resposta

O volume de S é \tfrac52.

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