Determine o volume do sólido S indicado, se
S está abaixo do paraboloide elíptico x^{2} / 4+y^{2} / 2+z=1 e acima do retângulo R=[-1,1] \times[-2,2].

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido S que fica abaixo do paraboloide elíptico
z = 1 - \frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{2}
e “por cima” do retângulo R=[-1,1]\times[-2,2] no plano z=0.
Ou seja, S=\{(x,y,z): (x,y)\in R,\\\ 0\le z\le 1-\tfrac{x^2}{4}-\tfrac{y^2}{2}\}.
Para achar o volume usamos um integral dupla em x,y.

Passo 2

Precisamos integrar somente onde o topo está acima de z=0, isto é
1 - \frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{2}\ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}\le1.
Juntando com R, o domínio efetivo de integração é
D=\Bigl\{(x,y):-1\le x\le1,\\\ -\sqrt{2-\tfrac{x^2}{2}}\le y\le\sqrt{2-\tfrac{x^2}{2}}\Bigr\}.

Passo 3

O volume é
V=\iint_{D}\Bigl(1-\tfrac{x^2}{4}-\tfrac{y^2}{2}\Bigr)\,dA =\int_{x=-1}^{1}\int_{y=-\sqrt{2-\tfrac{x^2}{2}}}^{\sqrt{2-\tfrac{x^2}{2}}} \Bigl(1-\tfrac{x^2}{4}-\tfrac{y^2}{2}\Bigr)\,dy\,dx.

Passo 4

Calculemos primeiro a integral em y. Seja
a=\sqrt{2-\tfrac{x^2}{2}},
então
\int_{-a}^{a}\Bigl(1-\tfrac{x^2}{4}-\tfrac{y^2}{2}\Bigr)\,dy =2\bigl(1-\tfrac{x^2}{4}\bigr)a -\frac{2\,a^3}{6} =\frac{4 - x^2}{3}\,\sqrt{2-\tfrac{x^2}{2}}.
Logo
V=\int_{-1}^{1}\frac{4-x^2}{3}\,\sqrt{2-\tfrac{x^2}{2}}\;dx.

Passo 5

A função integranda é par em x, então
V=\frac{2}{3}\int_{0}^{1}(4-x^2)\,\sqrt{2-\tfrac{x^2}{2}}\;dx.

Passo 6

Use a substituição
x=\sqrt{2}\,\sin\theta, \quad dx=\sqrt{2}\cos\theta\,d\theta, \quad \theta\in[0,\tfrac{\pi}{6}],
pois x=1 \sin\theta=\tfrac1{\sqrt2}. Então
\int_{0}^{1}(4-x^2)\sqrt{2-\tfrac{x^2}{2}}\,dx =8\sqrt2\int_{0}^{\pi/6}\cos^4\theta\,d\theta.

Passo 7

Use a identidade
\cos^4\theta =\frac{3+4\cos2\theta+\cos4\theta}{8},
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\int_{0}^{\pi/6}\cos^4\theta\,d\theta =\frac{\pi}{16}+\frac{9\sqrt3}{64}.
Substituindo de volta em V=\tfrac{2}{3}\bigl[\cdots\bigr] e simplificando obtemos
\boxed{V=\frac{4\pi\sqrt2+9\sqrt6}{12}}.

Resposta

\displaystyle \frac{4\pi\sqrt2+9\sqrt6}{12}

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