Determine o volume do sólido
indicado, se
está abaixo do paraboloide elíptico
e acima do retângulo
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido
que fica abaixo do paraboloide elíptico
e “por cima” do retângulo
no plano
.
Ou seja, .
Para achar o volume usamos um integral dupla em .
Ou seja,
Para achar o volume usamos um integral dupla em
Passo 2
Precisamos integrar somente onde o topo está acima de
, isto é
Juntando com
, o domínio efetivo de integração é
Passo 3
O volume é
Passo 4
Calculemos primeiro a integral em
. Seja
então
Logo
Passo 5
A função integranda é par em
, então
Passo 6
Use a substituição
pois
dá
. Então
Passo 7
Use a identidade
logo
Substituindo de volta em
e simplificando obtemos