Calcule as seguintes integrais iteradas sobre o retângulo R dado:
\iint_{R} \sqrt{x+y} d A, \quad R=[0,1] \times[0,1].

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R}\sqrt{x+y}\,dA
sobre o retângulo R=[0,1]\times[0,1].
O conteúdo principal é o Teorema de Fubini (podemos trocar a ordem de integração) e a técnica de antiderivação de \sqrt{\;\cdot\;}.

Passo 2

Pela Fubini, podemos escrever
I=\iint_{R}\sqrt{x+y}\,dA =\int_{0}^{1}\!\biggl(\int_{0}^{1}\sqrt{x+y}\,dy\biggr)\,dx =\int_{0}^{1}\!\biggl(\int_{0}^{1}\sqrt{x+y}\,dx\biggr)\,dy,
e ambas as ordens dão o mesmo valor I.

Passo 3

Vamos primeiro integrar em y, mantendo x fixo:
\int_{0}^{1}\sqrt{x+y}\,dy.
Use a substituição
u=x+y,\quad du=dy,\quad y=0\Rightarrow u=x,\quad y=1\Rightarrow u=x+1,
ficando
\int_{0}^{1}\sqrt{x+y}\,dy =\int_{u=x}^{u=x+1}u^{\tfrac12}\,du =\Bigl[\tfrac{2}{3}u^{\tfrac32}\Bigr]_{u=x}^{u=x+1} =\tfrac{2}{3}\bigl((x+1)^{\tfrac32}-x^{\tfrac32}\bigr).

Passo 4

Agora substituímos no integral em x:
I =\int_{0}^{1}\tfrac{2}{3}\bigl((x+1)^{\tfrac32}-x^{\tfrac32}\bigr)\,dx =\tfrac{2}{3}\Bigl(\underbrace{\int_{0}^{1}(x+1)^{\tfrac32}\,dx}_{A} -\underbrace{\int_{0}^{1}x^{\tfrac32}\,dx}_{B}\Bigr).
Calcule A e B separadamente:
Para A, faça u=x+1, du=dx, u\!:1\to2:
A=\int_{1}^{2}u^{\tfrac32}\,du =\Bigl[\tfrac{2}{5}u^{\tfrac52}\Bigr]_{1}^{2} =\tfrac{2}{5}\bigl(2^{\tfrac52}-1\bigr).
Para B:
B=\int_{0}^{1}x^{\tfrac32}\,dx =\Bigl[\tfrac{2}{5}x^{\tfrac52}\Bigr]_{0}^{1} =\tfrac{2}{5}.

Passo 5

Reunindo tudo:
I =\tfrac{2}{3}\Bigl(\tfrac{2}{5}(2^{\tfrac52}-1)-\tfrac{2}{5}\Bigr) =\tfrac{2}{3}\cdot\tfrac{2}{5}(2^{\tfrac52}-2) =\tfrac{4}{15}(2^{\tfrac52}-2).
Como 2^{\tfrac52}=4\sqrt2, obtemos
I =\tfrac{4}{15}(4\sqrt2-2) =\tfrac{8}{15}(2\sqrt2-1).

Resposta

\iint_{R}\sqrt{x+y}\,dA =\frac{8}{15}\bigl(2\sqrt2-1\bigr).

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