Calcule as seguintes integrais iteradas sobre o retângulo R dado:
\iint_{R} y\left(x-y^{2}\right)^{4} d A, \quad R=[0,1] \times[0,1].

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada da função \,f(x,y)=y\,(x - y^{2})^{4} sobre o retângulo
R = [0,1]\times[0,1].
O conteúdo envolvido é integração dupla (teorema de Fubini) e uma simples substituição para a parte em x.

Passo 2

Escrevemos a integral usando Fubini, integrando primeiro em x:
\iint_{R} y\,(x - y^{2})^{4}\,dA = \int_{y=0}^{1}\!\int_{x=0}^{1} y\,(x - y^{2})^{4}\,dx\,dy.
No interior, fazemos a substituição
u = x - y^{2}, \quad du = dx,
com limites x=0\to u=-y^{2} e x=1\to u=1-y^{2}. Assim,
\int_{x=0}^{1} y\,(x - y^{2})^{4}\,dx = y\int_{u=-y^{2}}^{\,1-y^{2}} u^{4}\,du = \frac{y}{5}\Bigl[(1 - y^{2})^{5} - (-y^{2})^{5}\Bigr].

Passo 3

Observe que (-y^{2})^{5} = -\,y^{10}. Logo a integral dupla vira
\iint_{R}f = \int_{0}^{1}\frac{y}{5}\Bigl[(1 - y^{2})^{5} + y^{10}\Bigr]dy = \frac{1}{5}\int_{0}^{1}\Bigl[y\,(1 - y^{2})^{5} + y^{11}\Bigr]dy.

Passo 4

Para \displaystyle\int_{0}^{1}y\,(1 - y^{2})^{5}dy, usamos t=1-y^{2}, dt=-2y\,dy:
\int_{0}^{1}y\,(1 - y^{2})^{5}dy = \int_{t=1}^{0} t^{5}\,\bigl(-\tfrac{dt}{2}\bigr) = \frac12\int_{0}^{1}t^{5}dt = \frac12\cdot\frac{1}{6} = \frac{1}{12}.
E
\int_{0}^{1}y^{11}dy = \frac{1}{12}.

Passo 5

Somando as duas parcelas e multiplicando por \tfrac{1}{5}:
\iint_{R}f = \frac{1}{5}\Bigl(\tfrac{1}{12} + \tfrac{1}{12}\Bigr) = \frac{1}{5}\cdot\frac{1}{6} = \frac{1}{30}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{30}

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