Calcule as seguintes integrais justificando cada passagem:
Passo 1
O enunciado pede calcular a antiderivada (primitiva) da função dada. Os dados são:
- A integral a calcular é
Não há outras informações; o objetivo é encontrar uma função
tal que
.
Passo 2
Observação sobre a forma do integrando e escolha de substituição: o denominador é
, então é natural tentar a substituição
porque isso transforma a raiz em
e simplifica a expressão. Dessa substituição segue que
Além disso precisamos reescrever o numerador em função de
. Como
, temos
Portanto, substituindo na integral, obtemos
Passo 3
Transformar em potências é útil para aplicar a regra de potência. Lembre que
e, portanto,
Assim a integral fica
Passo 4
Aplicar a regra de integração termo a termo. Recordando a regra de potência para integrais: para
,
e constantes podem ser puxadas para fora da integral. Vamos integrar cada termo:
- Para
: aqui , então
- Para
: aqui , então
Somando as duas partes, obtemos a primitiva em função de
:
Passo 5
Voltando à variável original usando
(lembrando que fizemos
no Passo 2), a antiderivada em função de
é dada substituindo
por
. Deixo a forma final organizada na seção de resposta.