Calcule as seguintes integrais justificando cada passagem:
\int \frac{2 x+1}{\sqrt{x+2}} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a antiderivada (primitiva) da função dada. Os dados são:
  • A integral a calcular é
\int \frac{2 x+1}{\sqrt{x+2}}\,d x.
Não há outras informações; o objetivo é encontrar uma função F(x) tal que F'(x)=\dfrac{2x+1}{\sqrt{x+2}}.

Passo 2

Observação sobre a forma do integrando e escolha de substituição: o denominador é \sqrt{x+2}, então é natural tentar a substituição
u = x+2,
porque isso transforma a raiz em \sqrt{u} e simplifica a expressão. Dessa substituição segue que
d u = d x.
Além disso precisamos reescrever o numerador em função de u. Como x = u-2, temos
2x+1 = 2(u-2)+1 = 2u-4+1 = 2u-3.
Portanto, substituindo na integral, obtemos
\int \frac{2 x+1}{\sqrt{x+2}}\,d x = \int \frac{2u-3}{\sqrt{u}}\,d u.

Passo 3

Transformar em potências é útil para aplicar a regra de potência. Lembre que \sqrt{u}=u^{1/2} e, portanto,
\frac{2u-3}{\sqrt{u}}=(2u-3)u^{-1/2}=2u^{1/2}-3u^{-1/2}.
Assim a integral fica
\int \frac{2u-3}{\sqrt{u}}\,d u = \int \bigl(2u^{1/2}-3u^{-1/2}\bigr)\,d u.

Passo 4

Aplicar a regra de integração termo a termo. Recordando a regra de potência para integrais: para n\neq -1,
\int u^{n}\,d u=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C,
e constantes podem ser puxadas para fora da integral. Vamos integrar cada termo:
  • Para \displaystyle\int 2u^{1/2}\,d u: aqui n=\tfrac{1}{2}, então
\int 2u^{1/2}\,d u =2\cdot\frac{u^{1/2+1}}{1/2+1} =2\cdot\frac{u^{3/2}}{3/2} =2\cdot\frac{2}{3}u^{3/2} =\frac{4}{3}u^{3/2}.
  • Para \displaystyle\int -3u^{-1/2}\,d u: aqui n=-\tfrac{1}{2}, então
\int -3u^{-1/2}\,d u =-3\cdot\frac{u^{-1/2+1}}{-1/2+1} =-3\cdot\frac{u^{1/2}}{1/2} =-3\cdot 2\,u^{1/2} =-6u^{1/2}.
Somando as duas partes, obtemos a primitiva em função de u:
\frac{4}{3}u^{3/2}-6u^{1/2}+C.

Passo 5

Voltando à variável original usando u=x+2 (lembrando que fizemos u=x+2 no Passo 2), a antiderivada em função de x é dada substituindo u por x+2. Deixo a forma final organizada na seção de resposta.

Resposta

\dfrac{4}{3}(x+2)^{3/2}-6(x+2)^{1/2}+C

Exercícios relacionados