Após a determinação dos valões numéricos de p(-1), p(0) e p(1), verifica-se que o polinômio p(x)=x^{3}+x^{2}-x-0,5 tem
a) apenas uma raiz real.
b) apenas duas raízes reais.
c) três raízes reais, todas do mesmo sinal.
d) três raízes reais, duas positivas e uma negativa.
e) três raízes reais, duas negativas e uma positiva.

Passo 1

O enunciado dá o polinômio p(x)=x^{3}+x^{2}-x-0,5 e pede que se escolha, entre as alternativas (a)–(e), qual descreve corretamente o número de raízes reais e a sua distribuição de sinais. Informações relevantes que temos para usar:
  • O polinômio p(x)=x^{3}+x^{2}-x-0,5 está totalmente dado.
  • Vamos avaliar p(-1), p(0) e p(1) para inferir mudanças de sinal (isso foi sugerido no enunciado).
  • A pergunta final é identificar quantas raízes reais existem e quantas são positivas/negativas.

Passo 2

Calcular p(-1), p(0) e p(1) passo a passo.
Calcular p(-1):
p(-1)=(-1)^{3}+(-1)^{2}-(-1)-0,5=-1+1+1-0,5=0,5.
Calcular p(0):
p(0)=0^{3}+0^{2}-0-0,5=-0,5.
Calcular p(1):
p(1)=1^{3}+1^{2}-1-0,5=1+1-1-0,5=0,5.
Portanto os valores são \,p(-1)=0,5,\; p(0)=-0,5,\; p(1)=0,5.

Passo 3

Usar o Teorema do Valor Intermediário (TVI) para garantir existência de raízes em intervalos onde há mudança de sinal.
Explicando o TVI (de forma simples): se uma função contínua f tem f(a) e f(b) com sinais opostos, então existe pelo menos um c\in(a,b) tal que f\text{(c)}=0. Polinômios são contínuos em toda parte, então o TVI vale para p.
Aplicando ao intervalo [-1,0]: temos p(-1)=0,5>0 e p(0)=-0,5<0. Como os sinais são opostos, pelo TVI existe pelo menos uma raiz r_1\in(-1,0). Essa raiz é negativa.
Aplicando ao intervalo [0,1]: temos p(0)=-0,5<0 e p(1)=0,5>0. Pelo TVI existe pelo menos uma raiz r_2\in(0,1). Essa raiz é positiva.
Assim já encontramos duas raízes reais distintas: uma em (-1,0) (negativa) e outra em (0,1) (positiva).

Passo 4

Raciocínio sobre o número total de raízes reais de um polinômio cúbico.
Fatos importantes:
  • Um polinômio de grau ímpar (como o grau 3) tem pelo menos uma raiz real.
  • As raízes complexas não reais aparecem em pares conjugadas. Isso significa que um polinômio com coeficientes reais não pode ter exatamente duas raízes reais e uma complexa isolada: se houver uma complexa não real, sua conjugada também aparece, então o número de raízes não reais é par.
  • Portanto, um cúbico com coeficientes reais pode ter 1 ou 3 raízes reais (contando multiplicidades).
Já encontramos duas raízes reais distintas. Não é possível ter exatamente duas raízes reais e uma complexa não real (isso violaria o emparelhamento de complexas). Logo o terceiro zero deve ser real também. Conclusão: o polinômio tem exatamente três raízes reais (todas simples, já que as duas que encontramos são em intervalos que garantem mudança de sinal e, portanto, são distintas).

Passo 5

Determinar os sinais das três raízes usando a informação das duas raízes que já localizamos e a relação entre coeficientes e raízes (fórmulas de Viète).
As fórmulas de Viète para um cúbico x^{3}+a x^{2}+b x+c dizem, entre outras, que o produto das três raízes r_{1}r_{2}r_{3}=-c (porque aqui o coeficiente líder é 1). No nosso caso c=-0,5, portanto
r_{1}r_{2}r_{3}=-(-0,5)=0,5.
Ou seja, o produto das três raízes é 0,5>0.
Já sabemos que existe uma raiz negativa r_{\text{neg}}\in(-1,0) e uma positiva r_{\text{pos}}\in(0,1). O produto dessas duas raízes é negativo (negativo \times positivo = negativo). Para que o produto total r_{1}r_{2}r_{3} seja positivo ( 0,5), o terceiro fator (a terceira raiz) deve ser negativo, porque negativo \times (terceira raiz) deve dar positivo, então a terceira raiz é negativa.
Portanto as raízes têm sinais: duas negativas e uma positiva.

Passo 6

Resumindo o que deduzimos:
  • Existem três raízes reais.
  • Entre elas há duas raízes negativas e uma raiz positiva.
  • Isso corresponde à alternativa (e).
Dica rápida para prova: avaliar o polinômio em alguns pontos inteiros próximos (como -1,0,1) frequentemente revela mudanças de sinal que, juntas com Viète, permitem decidir número e sinais das raízes sem encontrar valores exatos.

Resposta

e) três raízes reais, duas negativas e uma positiva.

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