Após a determinação dos valões numéricos de
e
, verifica-se que o polinômio
tem
a) apenas uma raiz real.
b) apenas duas raízes reais.
c) três raízes reais, todas do mesmo sinal.
d) três raízes reais, duas positivas e uma negativa.
e) três raízes reais, duas negativas e uma positiva.
a) apenas uma raiz real.
b) apenas duas raízes reais.
c) três raízes reais, todas do mesmo sinal.
d) três raízes reais, duas positivas e uma negativa.
e) três raízes reais, duas negativas e uma positiva.
Passo 1
O enunciado dá o polinômio
e pede que se escolha, entre as alternativas (a)–(e), qual descreve corretamente o número de raízes reais e a sua distribuição de sinais. Informações relevantes que temos para usar:
- O polinômio
está totalmente dado. - Vamos avaliar
, e para inferir mudanças de sinal (isso foi sugerido no enunciado). - A pergunta final é identificar quantas raízes reais existem e quantas são positivas/negativas.
Passo 2
Calcular
,
e
passo a passo.
Calcular
:
Calcular
:
Calcular
:
Portanto os valores são
.
Passo 3
Usar o Teorema do Valor Intermediário (TVI) para garantir existência de raízes em intervalos onde há mudança de sinal.
Explicando o TVI (de forma simples): se uma função contínua
tem
e
com sinais opostos, então existe pelo menos um
tal que
. Polinômios são contínuos em toda parte, então o TVI vale para
.
Aplicando ao intervalo
: temos
e
. Como os sinais são opostos, pelo TVI existe pelo menos uma raiz
. Essa raiz é negativa.
Aplicando ao intervalo
: temos
e
. Pelo TVI existe pelo menos uma raiz
. Essa raiz é positiva.
Assim já encontramos duas raízes reais distintas: uma em
(negativa) e outra em
(positiva).
Passo 4
Raciocínio sobre o número total de raízes reais de um polinômio cúbico.
Fatos importantes:
- Um polinômio de grau ímpar (como o grau
) tem pelo menos uma raiz real. - As raízes complexas não reais aparecem em pares conjugadas. Isso significa que um polinômio com coeficientes reais não pode ter exatamente duas raízes reais e uma complexa isolada: se houver uma complexa não real, sua conjugada também aparece, então o número de raízes não reais é par.
- Portanto, um cúbico com coeficientes reais pode ter 1 ou 3 raízes reais (contando multiplicidades).
Já encontramos duas raízes reais distintas. Não é possível ter exatamente duas raízes reais e uma complexa não real (isso violaria o emparelhamento de complexas). Logo o terceiro zero deve ser real também. Conclusão: o polinômio tem exatamente três raízes reais (todas simples, já que as duas que encontramos são em intervalos que garantem mudança de sinal e, portanto, são distintas).
Passo 5
Determinar os sinais das três raízes usando a informação das duas raízes que já localizamos e a relação entre coeficientes e raízes (fórmulas de Viète).
As fórmulas de Viète para um cúbico
dizem, entre outras, que o produto das três raízes
(porque aqui o coeficiente líder é
). No nosso caso
, portanto
Ou seja, o produto das três raízes é
.
Já sabemos que existe uma raiz negativa
e uma positiva
. O produto dessas duas raízes é negativo (negativo
positivo = negativo). Para que o produto total
seja positivo (
), o terceiro fator (a terceira raiz) deve ser negativo, porque negativo
(terceira raiz) deve dar positivo, então a terceira raiz é negativa.
Portanto as raízes têm sinais: duas negativas e uma positiva.
Passo 6
Resumindo o que deduzimos:
- Existem três raízes reais.
- Entre elas há duas raízes negativas e uma raiz positiva.
- Isso corresponde à alternativa (e).
Dica rápida para prova: avaliar o polinômio em alguns pontos inteiros próximos (como
) frequentemente revela mudanças de sinal que, juntas com Viète, permitem decidir número e sinais das raízes sem encontrar valores exatos.
Resposta
e) três raízes reais, duas negativas e uma positiva.