( 2,5 pt) Desenhe o conjunto dos pontos do plano A delimitado pelas curvas,
y=2 x^{2}-13 x-2, \quad y=-x^{2}+2 x-14
e calcule a sua área.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Desenhar o conjunto A do plano delimitado pelas curvas y=2x^{2}-13x-2,\qquad y=-x^{2}+2x-14.
  • Calcular a área desse conjunto A.
Informações dadas:
  • Duas funções explícitas em y dependentes de x: y=2x^{2}-13x-2 e y=-x^{2}+2x-14.

Passo 2

Encontrar os pontos de interseção das duas curvas (esses serão os limites horizontais da região). Igualamos as duas expressões para y:
2x^{2}-13x-2 = -x^{2}+2x-14.
Colocando todos os termos no mesmo lado:
3x^{2}-15x+12=0.
Dividindo por 3:
x^{2}-5x+4=0.
Fatorando:
(x-1)(x-4)=0,
logo as raízes são x=1 e x=4.
Agora calculamos as coordenadas y desses pontos (usando qualquer uma das duas curvas; serve de checagem):
  • Para x=1: y=2(1)^{2}-13(1)-2 = 2-13-2 = -13. Então ponto (1,-13).
  • Para x=4: y=2(4)^{2}-13(4)-2 = 32-52-2 = -22. Então ponto (4,-22).
Portanto as curvas se intersectam em (1,-13) e (4,-22).

Passo 3

Decidir qual curva está por cima (maior y) entre x=1 e x=4. Calculo da diferença (primeira menos segunda):
(2x^{2}-13x-2)-(-x^{2}+2x-14)=3x^{2}-15x+12=3(x-1)(x-4).
No intervalo 1<x<4 o produto (x-1)(x-4) é negativo, logo 3(x-1)(x-4)<0. Isso significa que
2x^{2}-13x-2 < -x^{2}+2x-14
para 1<x<4. Portanto a curva y=-x^{2}+2x-14 é a curva superior e y=2x^{2}-13x-2 é a curva inferior no intervalo de interesse.
Explicação didática curta: para calcular a área entre duas curvas verticais, sempre subtrai-se a ordenada da curva inferior da ordenada da curva superior e integra-se na faixa de x entre as interseções.

Passo 4

Montar a integral da área A como integral da diferença (superior - inferior) de x=1 até x=4:
A=\int_{1}^{4}\Big[(-x^{2}+2x-14)-(2x^{2}-13x-2)\Big]\,dx.
Simplificando o integrando:
(-x^{2}+2x-14)-(2x^{2}-13x-2) = -3x^{2}+15x-12.

Passo 5

Calcular a primitiva termo a termo (lembrando a fórmula básica: \displaystyle\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1} para n\neq-1):
  • \displaystyle\int -3x^{2}\,dx = -3\cdot\frac{x^{3}}{3} = -x^{3}.
  • \displaystyle\int 15x\,dx = 15\cdot\frac{x^{2}}{2} = \frac{15}{2}x^{2}.
  • \displaystyle\int -12\,dx = -12x.
Assim uma primitiva é
F(x) = -x^{3}+\frac{15}{2}x^{2}-12x.

Passo 6

Avaliar a integral definida A=F(4)-F(1).
Calcule F(4):
F(4) = -4^{3}+\frac{15}{2}\cdot4^{2}-12\cdot4 = -64 + \frac{15}{2}\cdot16 -48.
Como \dfrac{15}{2}\cdot16 = 15\cdot8 =120, temos
F(4) = -64 + 120 -48 = 8.
Calcule F(1):
F(1) = -1+\frac{15}{2}\cdot1 -12 = -1 + \frac{15}{2} -12.
Somando -1-12=-13, então
F(1) = -13 + \frac{15}{2} = -\frac{26}{2} + \frac{15}{2} = -\frac{11}{2}.
Agora a área:
A = F(4)-F(1) = 8 -\big(-\tfrac{11}{2}\big) = 8 + \tfrac{11}{2} = \tfrac{16}{2} + \tfrac{11}{2} = \tfrac{27}{2}.
Portanto a área do conjunto A é \dfrac{27}{2}.

Passo 7

Como desenhar o conjunto A (instruções práticas para a prova):
  • Desenhe as duas parábolas: y=2x^{2}-13x-2 (abre para cima) e y=-x^{2}+2x-14 (abre para baixo).
  • Marque os pontos de interseção (1,-13) e (4,-22) (obtidos no Passo 2).
  • Entre x=1 e x=4, a parábola superior é y=-x^{2}+2x-14 e a inferior é y=2x^{2}-13x-2; sombreie a região vertical entre essas curvas. Isso é o conjunto A.

Resposta

Região limitada entre as parábolas entre os pontos de interseção (1,-13) e (4,-22), com y=-x^{2}+2x-14 acima em 1\le x\le4.
Área =\dfrac{27}{2}.

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