( 2,5 pt) Desenhe o conjunto dos pontos do plano
delimitado pelas curvas,
e calcule a sua área.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Desenhar o conjunto
do plano delimitado pelas curvas - Calcular a área desse conjunto
.
Informações dadas:
- Duas funções explícitas em
dependentes de : e .
Passo 2
Encontrar os pontos de interseção das duas curvas (esses serão os limites horizontais da região). Igualamos as duas expressões para
:
Colocando todos os termos no mesmo lado:
Dividindo por
:
Fatorando:
logo as raízes são
e
.
Agora calculamos as coordenadas
desses pontos (usando qualquer uma das duas curvas; serve de checagem):
- Para
: . Então ponto . - Para
: . Então ponto .
Portanto as curvas se intersectam em
e
.
Passo 3
Decidir qual curva está por cima (maior
) entre
e
. Calculo da diferença (primeira menos segunda):
No intervalo
o produto
é negativo, logo
. Isso significa que
para
. Portanto a curva
é a curva superior e
é a curva inferior no intervalo de interesse.
Explicação didática curta: para calcular a área entre duas curvas verticais, sempre subtrai-se a ordenada da curva inferior da ordenada da curva superior e integra-se na faixa de
entre as interseções.
Passo 4
Montar a integral da área
como integral da diferença (superior - inferior) de
até
:
Simplificando o integrando:
Passo 5
Calcular a primitiva termo a termo (lembrando a fórmula básica:
para
):
Assim uma primitiva é
Passo 6
Avaliar a integral definida
.
Calcule
:
Como
, temos
Calcule
:
Somando
, então
Agora a área:
Portanto a área do conjunto
é
.
Passo 7
Como desenhar o conjunto
(instruções práticas para a prova):
- Desenhe as duas parábolas:
(abre para cima) e (abre para baixo). - Marque os pontos de interseção
e (obtidos no Passo 2). - Entre
e , a parábola superior é e a inferior é ; sombreie a região vertical entre essas curvas. Isso é o conjunto .
Resposta
Região limitada entre as parábolas entre os pontos de interseção
e
, com
acima em
.
Área .
Área