Calcule as seguintes integrais justificando cada passagem:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado.
- Pede-se calcular a integral definida
- Informação útil: a função integranda é
, definida para porque nesse intervalo (na verdade até ). - Objetivo claro: encontrar o valor numérico da integral
, justificando cada passo.
Passo 2
Conceito que vamos usar: funções pares, ímpares e propriedade de simetria da integral.
- Definição de função par: uma função
é par se, para todo no domínio, . - Definição de função ímpar: uma função
é ímpar se, para todo no domínio, . - Propriedade de simetria (que vamos usar e provar rapidamente): se
for integrável em e for ímpar, então
Prova curta dessa propriedade: escrevendo a integral como soma das metades,
Fazendo a mudança de variável
na primeira integral tem-se
Se
é ímpar,
, então
Somando com a segunda integral
cancelam-se, ficando zero. Portanto a propriedade está justificada.
Passo 3
Verificar a paridade da função
.
- Calculemos
. Usando as regras de sinais e que ,
- Conclusão:
satisfaz para todos no domínio; portanto é uma função ímpar.
Passo 4
Aplicar a propriedade de simetria da integral para funções ímpares.
- Já que
é ímpar e é contínua (portanto integrável) em — a raiz quadrada é contínua onde seu argumento é não negativo e é contínuo — podemos aplicar a propriedade do passo anterior com . - Logo
Passo 5
Verificação alternativa (opcional, para treinar substituições): substituição trigonométrica mostra o mesmo cancelamento.
- Fazer
. Quando tem ; quando tem . - Calculando diferentemente:
, , . Assim o integrando transforma-se em
- A integral fica
- Observe que
é função ímpar em e é par; o produto é ímpar, e a integral em limites simétricos de uma função ímpar é zero — confirmação do resultado anterior.