Calcule as seguintes integrais justificando cada passagem:
\int_{-1}^{1} x^{3} \sqrt{4-x^{2}} d x

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado.
  • Pede-se calcular a integral definida
\int_{-1}^{1} x^{3} \sqrt{4-x^{2}}\,dx.
  • Informação útil: a função integranda é f(x)=x^{3}\sqrt{4-x^{2}}, definida para -1\le x\le1 porque 4-x^{2}\ge 0 nesse intervalo (na verdade até |x|\le 2).
  • Objetivo claro: encontrar o valor numérico da integral \displaystyle\int_{-1}^{1} x^{3} \sqrt{4-x^{2}}\,dx, justificando cada passo.

Passo 2

Conceito que vamos usar: funções pares, ímpares e propriedade de simetria da integral.
  • Definição de função par: uma função g é par se, para todo x no domínio, g(-x)=g(x).
  • Definição de função ímpar: uma função g é ímpar se, para todo x no domínio, g(-x)=-g(x).
  • Propriedade de simetria (que vamos usar e provar rapidamente): se g for integrável em [-a,a] e for ímpar, então
\int_{-a}^{a} g(x)\,dx = 0.
Prova curta dessa propriedade: escrevendo a integral como soma das metades,
\int_{-a}^{a} g(x)\,dx = \int_{-a}^{0} g(x)\,dx + \int_{0}^{a} g(x)\,dx.
Fazendo a mudança de variável x=-t na primeira integral tem-se
\int_{-a}^{0} g(x)\,dx = \int_{a}^{0} g(-t)\,(-dt) = \int_{0}^{a} g(-t)\,dt.
Se g é ímpar, g(-t)=-g(t), então
\int_{-a}^{0} g(x)\,dx = \int_{0}^{a} (-g(t))\,dt = -\int_{0}^{a} g(t)\,dt.
Somando com a segunda integral \int_{0}^{a} g(x)\,dx cancelam-se, ficando zero. Portanto a propriedade está justificada.

Passo 3

Verificar a paridade da função f(x)=x^{3}\sqrt{4-x^{2}}.
  • Calculemos f(-x). Usando as regras de sinais e que (-x)^{2}=x^{2},
f(-x)=(-x)^{3}\sqrt{4-(-x)^{2}} = -x^{3}\sqrt{4-x^{2}} = -f(x).
  • Conclusão: f satisfaz f(-x)=-f(x) para todos x no domínio; portanto f é uma função ímpar.

Passo 4

Aplicar a propriedade de simetria da integral para funções ímpares.
  • Já que f é ímpar e é contínua (portanto integrável) em [-1,1] — a raiz quadrada é contínua onde seu argumento é não negativo e x^{3} é contínuo — podemos aplicar a propriedade do passo anterior com a=1.
  • Logo
\int_{-1}^{1} x^{3}\sqrt{4-x^{2}}\,dx = 0.

Passo 5

Verificação alternativa (opcional, para treinar substituições): substituição trigonométrica mostra o mesmo cancelamento.
  • Fazer x=2\sin t. Quando x=-1 tem t=-\arcsin\left(\tfrac{1}{2}\right)=-\tfrac{\pi}{6}; quando x=1 tem t=\tfrac{\pi}{6}.
  • Calculando diferentemente: dx=2\cos t\,dt, x^{3}=8\sin^{3}t, \sqrt{4-x^{2}}=2\cos t. Assim o integrando transforma-se em
x^{3}\sqrt{4-x^{2}}\,dx = (8\sin^{3}t)(2\cos t)(2\cos t\,dt) = 32\sin^{3}t\cos^{2}t\,dt.
  • A integral fica
\int_{-1}^{1} x^{3}\sqrt{4-x^{2}}\,dx = \int_{-\pi/6}^{\pi/6} 32\sin^{3}t\cos^{2}t\,dt.
  • Observe que \sin^{3}t é função ímpar em t e \cos^{2}t é par; o produto é ímpar, e a integral em limites simétricos [-\pi/6,\pi/6] de uma função ímpar é zero — confirmação do resultado anterior.

Resposta

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