Calcule as seguintes integrais. Justifique a sua resposta.
integral cos x cos 2 x sen 3 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral cos x ,cos 2x ,sin 3x ,dx
O conteúdo principal aqui é integrar um produto de funções trigonométricas. Para isso, vamos usar identidades de produto-para-soma que transformam produtos de cossenos e senos em somas de funções simples, facilitando a integração.

Passo 2

Começamos usando a identidade
cos Acos B = 12l[cos(A+B) + cos(A-B)r]
Tomando A=x e B=2x, obtemos
cos xcos 2x = 12l[cos(3x) + cos(-x)r] = 12l[cos 3x + cos xr]
Logo
integral cos x,cos 2x,sin 3x,dx = 12integral l(cos 3x + cos xr)sin 3x,dx

Passo 3

Separamos a integral em duas partes:
12integral cos 3x,sin 3x,dx ;+; 12integral cos x,sin 3x,dx

Passo 4

Para
integral cos 3x,sin 3x,dx, use substituição
u = sin 3x, du = 3cos 3x,dx ;Longrightarrow; cos 3x,dx = du3
Então
integral cos 3x,sin 3x,dx = integral u,du3 = u^26 = sin^2 3x6

Passo 5

Para
integral cos x,sin 3x,dx, usamos a identidade
sin Acos B = tfrac12l[sin(A+B)+sin(A-B)r]
Com A=3x e B=x temos
sin 3x,cos x = 12l[sin 4x + sin 2xr]
Logo
integral sin 3x,cos x,dx = 12integral l(sin 4x + sin 2xr)dx = 12l(-cos 4x4 - cos 2x2r) = -cos 4x8 - cos 2x4

Passo 6

Agora juntamos tudo com o fator tfrac12:
integral cos x,cos 2x,sin 3x,dx = 12l(sin^2 3x6r) + 12l(-cos 4x8-cos 2x4r) + C
Simplificando coeficientes:
= sin^2 3x12 - cos 4x16 - cos 2x8 + C

Resposta

boxed integral cos x,cos 2x,sin 3x,dx = sin^2 3x12 - cos 4x16 - cos 2x8 + C

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