Calcule as seguintes integrais. Justifique a sua resposta.
integral cos 2 x sen 3 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral cos 2x ,sin 3x ,dx
Isso envolve produto de funções trigonométricas, e o truque clássico é usar a identidade de produto-para-soma:
sin Acos B = 12l[sin(A+B)+sin(A-B)r]

Passo 2

Aplicando a identidade com A=3x e B=2x, obtemos
cos 2x,sin 3x = 12l[sin(3x+2x)+sin(3x-2x)r] = 12l[sin 5x+sin xr]
Logo a integral vira
integral cos 2x,sin 3x ,dx = 12integral l[sin 5x + sin xr],dx

Passo 3

Vamos integrar cada termo separadamente:
integral sin 5x,dx = -15cos 5x, integral sin x,dx = -cos x
Então
12integral l[sin 5x + sin xr],dx = 12l(-15cos 5x - cos xr) + C

Passo 4

Bastou somar e simplificar o fator 1/2:
integral cos 2x,sin 3x ,dx = -110cos 5x - 12cos x + C

Resposta

boxed integral cos 2x,sin 3x ,dx = -110cos 5x ;-;12cos x + C

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