Use o Método de Frobenius para encontrar, quando possível, uma solução das equações:
,
Passo 1
O enunciado pede uma solução em série pelo Método de Frobenius para a equação
O ponto
é singular (pois o coeficiente de
some), então vamos buscar
com
e expoente
a determinar.
Passo 2
Primeiro colocamos em forma padrão
. Dividindo por
,
Agora calculamos
e substituímos na equação padrão.
Passo 3
Ao substituir, o termo de menor potência em
é
vindo de
. Seu coeficiente é
Logo só há um expoente de Frobenius
.
Passo 4
Para as potências superiores igualamos os coeficientes de
a zero e obtemos a recorrência (com
):
Passo 5
Se tentássemos
, de fato todos os
para
e
seriam constantes, mas isso leva a uma solução degenerada que não satisfaz a equação (o termo constante falha). Concluímos que
e que a única série não-trivial começa com
. Tomamos então, por simplicidade,
.
Passo 6
Usando a recorrência com
e
:
Passo 7
Portanto, uma solução pelo Método de Frobenius em torno de
é
onde os coeficientes satisfazem
Resposta
com coeficientes dados por
,
e