Use o Método de Frobenius para encontrar, quando possível, uma solução das equações:
2 t^3 y^prime prime-y^prime+2 y=0,

Passo 1

O enunciado pede uma solução em série pelo Método de Frobenius para a equação
2,t^3y''-y'+2y=0
O ponto t=0 é singular (pois o coeficiente de y'' some), então vamos buscar
y(t)=sumn=0^inftyan,t^n+r,
com a0neq0 e expoente r a determinar.

Passo 2

Primeiro colocamos em forma padrão y''+p(t)y'+q(t)y=0. Dividindo por 2t^3,
y''-12t^3,y'+1t^3,y=0
Agora calculamos
y=sumn=0^infty an,t^n+r, y'=sumn=0^infty an(n+r),t^n+r-1, y''=sumn=0^infty an(n+r)(n+r-1),t^n+r-2,
e substituímos na equação padrão.

Passo 3

Ao substituir, o termo de menor potência em t é t^r-1 vindo de -tfrac12t^3y'. Seu coeficiente é
-tfrac12,a0(r),t^r-1=0 Longrightarrow r=0
Logo só há um expoente de Frobenius r=0.

Passo 4

Para as potências superiores igualamos os coeficientes de t^n+r+1 a zero e obtemos a recorrência (com r=0):
an+2 =2,an+1+2,n(n-1),ann+2, n>=0

Passo 5

Se tentássemos a1=0, de fato todos os an para n>=2 e a0 seriam constantes, mas isso leva a uma solução degenerada que não satisfaz a equação (o termo constante falha). Concluímos que a0=0 e que a única série não-trivial começa com a1neq0. Tomamos então, por simplicidade, a1=1.

Passo 6

Usando a recorrência com a0=0 e a1=1:
a2=2cdot1+2cdot02=1, a3=2cdot a2+2cdot1cdot03=23, a4=2cdot23+2cdot2cdot14=43,;dots

Passo 7

Portanto, uma solução pelo Método de Frobenius em torno de t=0 é
y(t) =t + t^2 + tfrac23,t^3 + tfrac43,t^4 + cdots,
onde os coeficientes satisfazem
an+2 =2,an+1+2,n(n-1),ann+2

Resposta

boxed y(t)=t + t^2 + 23t^3 + 43t^4 + 3215t^5 + cdots,
com coeficientes dados por a1=1, a0=0 e
an+2 =2,an+1+2,n(n-1),ann+2

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