Calcule as seguintes integrais. Justifique a sua resposta.
integral cos x raiz[3]sen^2 x d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
integral cos x ,raiz[3]sen^2 x,dx
O conteúdo aqui é integração por substituição: vamos reconhecer raiz[3]sen^2 x=(sen^2 x)^1/3 e usar a substituição u=sen x.

Passo 2

Fazendo u = sen x, temos
du = cos x,dx
Logo a integral se transforma em
integral cos x,(sen^2 x)^13,dx = integral (u^2)^13,du = integral u^23,du

Passo 3

Para integrar integral u^23,du usamos a regra de potência integral u^n,du = dfracu^n+1n+1 com n=tfrac23. Assim,
integral u^23,du = u^5353 + C = 35,u^53 + C

Passo 4

Voltando à variável x por u=sen x, obtemos
F(x) = 35,(sen x)^53 + C = 35,sen x;(sen^2 x)^13 + C

Resposta

integral cos x ,raiz[3]sen^2 x,dx = 35,sen x;raiz[3]sen^2 x + C

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