Questão 6. (valor: 1,5) Utilize o método das frações parciais para decompor e determinar a transformada inversa de Laplace de: 4 s+7(s-2)(s+1)
Cálculo:

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de 4s+7(s-2)(s+1) usando o método das frações parciais. Vamos decompor essa função em termos de 1s-a e depois aplicar a tabela clássica
L^-1ltfrac1s-ar = e^at

Passo 2

Pressupomos a decomposição
4s+7(s-2)(s+1) = As-2 + Bs+1
Multiplicando ambos os lados por (s-2)(s+1) vem
4s+7 = A(s+1) + B(s-2)

Passo 3

Expandindo e igualando coeficientes em s temos
A + B = 4, A - 2B = 7
Da primeira equação A = 4 - B. Substituindo na segunda
4 - B - 2B = 7 ;Longrightarrow; -3B = 3 ;Longrightarrow; B = -1,
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A = 4 - (-1) = 5
Assim
4s+7(s-2)(s+1) = 5s-2 ;-; 1s+1

Passo 4

Aplicando a transformada inversa a cada termo:
L^-1ltfrac5s-2r = 5e^2t, L^-1l-tfrac1s+1r = -e^-t
Somando ambos os resultados, obtemos a função no domínio do tempo.

Resposta

f(t) = 5e^2t - e^-t

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