Use o Método de Frobenius para encontrar, quando possível, uma solução das equações:
2 t y^prime prime+5 y^prime+t y=0,

Passo 1

O enunciado pede para resolver, junto ao ponto singular t=0, a equação
2,t,y''+5,y'+t,y=0
usando o método de Frobenius. Isso envolve assumir uma solução da forma
y(t)=sumn=0^inftyan,t^n+r,
determinar o valor de r (equação indicial) e a relação de recorrência entre os an.

Passo 2

Primeiro colocamos a equação em forma padrão dividindo por 2t:
y''+52t,y'+12,y=0
Em seguida substituímos
y=sumn=0^inftyant^n+r, y'=sumn=0^infty(n+r)ant^n+r-1, y''=sumn=0^infty(n+r)(n+r-1)ant^n+r-2

Passo 3

Ao inserir na forma padrão e recolher potências de t^n+r-1, obtemos para n>=2:
l[2(n+r)(n+r-1)+5(n+r)r]an+an-2=0,
e, para o termo isolado n=0, a equação indicial
2,r(r-1)+5,r=0

Passo 4

Resolvendo a indicial:
2r^2+3r=0 Longrightarrow rl(2r+3r)=0 Longrightarrow r1=0,;r2=-tfrac32

Passo 5

A partir de
2(n+r)(n+r-1)+5(n+r)=(n+r)l(2n+2r+3r),
a relação de recorrência geral é
an=-,an-2(n+r),(2n+2r+3) (n>=2)

Passo 6

Para r=r1=0 temos
an=-,an-2n,(2n+3),
escolhendo a1=0 (só pares sobrevive) e a0 livre, obtemos
y1(t)=a0l[,1-t^22cdot7+t^42cdot7cdot4cdot11-cdotsr] =a0l[,1-t^214+t^4616-cdotsr]

Passo 7

Para r=r2=-tfrac32 a recorrência vira
an=-,an-2(n-tfrac32),2n (n>=2),
e tomando a1=0, a0 livre, gera a segunda solução em série
y2(t)=a0,t^-tfrac32l[,1-t^22cdot2cdottfrac12+cdotsr] =a0,t^-tfrac32l[,1-tfract^22+cdotsr]

Resposta

A solução geral é
y(t)=C1,y1(t)+C2,y2(t),
onde
y1(t)=1-t^214+t^4616-cdots, y2(t)=t^-tfrac32l(1-tfract^22+cdotsr),
sendo C1 e C2 constantes arbitrárias.

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