Use o Método de Frobenius para encontrar, quando possível, uma solução das equações:
4 t y^prime prime+12 y^prime+y=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver, pelo Método de Frobenius em t=0, a equação
4,t,y''+tfrac12,y'+y=0
Como t=0 é ponto singular (coeficiente de y'' anula em t=0), vamos assumir uma solução do tipo
y(t)=sumn=0^inftyan,t^n+r, a0neq0,
e encontrar o expoente r (equação indicial) e a recorrência entre os an.

Passo 2

Calculamos y' e y'':
y'=sumn=0^infty an,(n+r),t^n+r-1, y''=sumn=0^infty an,(n+r)(n+r-1),t^n+r-2
Substituindo em 4t,y''+tfrac12y'+y=0 e dividindo por 4 para simplificar, obtemos
t,y''+tfrac18,y'+tfrac14,y=0
Reescrevendo todos os termos como potências de t^n+r-1 leva ao termo de menor potência t^r-1 cujo coeficiente dá a equação indicial:
a0l[r(r-1)+tfrac18rr]=0 ;;Longrightarrow;; rl(r-1+tfrac18r)=0 ;;Longrightarrow;; r=0;ou;r=tfrac78

Passo 3

Para o coeficiente geral de t^n+r-1 com n>=1 surge a relação
anl[(n+r)(n+r-1)+tfrac18(n+r)r] +tfrac14,an-1=0,
ou seja
an =-tfrac14,an-1(n+r)l(n+r-1+tfrac18r) =-14,an-1(n+r),(n+r-tfrac78)

Passo 4

Tomando a menor raiz r=0, a recorrência fica
an =-14,an-1n,(n-tfrac78)
Tomando a0=1 e calculando os primeiros coeficientes:
a1=-1411,(1-tfrac78)=-2, a2=-14(-2)2,(2-tfrac78)=29,
etc. Logo uma solução regular em t=0 é
y1(t) =1-2,t+29,t^2+cdots =sumn=0^infty an,t^n

Passo 5

Para a outra raiz r=tfrac78 a fórmula geral dá
an =-14,an-1(n+tfrac78),n,
gerando a segunda solução de Frobenius
y2(t) =t^7/8l(1+cdotsr)

Resposta

Uma solução analítica em t=0 é
y1(t)=sumn=0^infty an,t^n com a0=1,; an=-14an-1n(n-tfrac78),
que começa
y1(t)=1-2t+29t^2+cdots

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