Determine o centro de massa da região A dada pelos pontos (x, y) tais que 0 <= y <= x^3, com 0 <= x <= 1. Faça o desenho do gráfico da região A, indicando o centro de massa.

Passo 1

O enunciado define a região
A = (x,y)mid 0 <= x <= 1,;0 <= y <= x^3
e pede o centro de massa de uma lâmina de densidade uniforme. Vamos usar as fórmulas
bar x = 1Área(A)integral duplaA x,dA, bar y = 1Área(A)integral duplaA y,dA ÁÁ

Passo 2

Calculamos a área de A por integração:
Área(A) =integral0^1!integral0^x^3 dy,dx =integral0^1 x^3,dx =[tfracx^44]0^1 =tfrac14 Á

Passo 3

Agora o momento em x (momento em torno do eixo y):
integral duplaA x,dA =integral0^1!integral0^x^3 x,dy,dx =integral0^1 xl(x^3r),dx =integral0^1 x^4,dx =[tfracx^55]0^1 =tfrac15
Logo
bar x =1514 =45

Passo 4

Em seguida, o momento em y (momento em torno do eixo x):
integral duplaA y,dA =integral0^1!integral0^x^3 y,dy,dx =integral0^1 (x^3)^22,dx =integral0^1 x^62,dx =12,[tfracx^77]0^1 =114
Portanto
bar y =11414 =414 =27

Passo 5

Para desenhar, trace os eixos x e y, plote a curva y=x^3 de (0,0) a (1,1) e sombreie a região abaixo dela. Marque o ponto do centro de massa em
l(tfrac45,,tfrac27r),
que fica dentro do domínio sombreado.

Resposta

O centro de massa de A é
l(bar x,bar yr) =l(tfrac45,,tfrac27r)

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