Calcule as seguintes integrais. Justifique a sua resposta.
integral sen^3 x cos ^4 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral sin^3x,cos^4x ,dx
O tema é integração de potências de funções trigonométricas. Como a potência de sin x é ímpar, vamos usar a identidade sin^2x=1-cos^2x e depois fazer uma substituição.

Passo 2

Escrevemos
sin^3x = sin^2x;sin x = (1-cos^2x),sin x,
portanto
integral sin^3x,cos^4x,dx = integral (1-cos^2x),cos^4x;sin x,dx

Passo 3

Fazemos a substituição
u = cos x, du = -sin x,dx
Assim a integral em x passa a ser em u:
integral (1-cos^2x),cos^4x,sin x,dx = -integral (1-u^2),u^4,du = -integral (u^4 - u^6),du
Integrando em u:
-integral (u^4 - u^6),du = -l(tfracu^55 - tfracu^77r) + C = -tfracu^55 + tfracu^77 + C

Passo 4

Voltando a x com u=cos x, obtemos
integral sin^3x,cos^4x,dx = -cos^5x5 + cos^7x7 + C = cos^7x7 - cos^5x5 + C

Resposta

cos^7 x7 - cos^5 x5 + C

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