Calcule as seguintes integrais. Justifique a sua resposta.
integral tg x raiz[4]sec ^3 x d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
integral tan x raiz[4]sec^3 x,dx.
O conteúdo é integração por substituição, pois reconhecemos que a derivada de sec x envolve sec xtan x.

Passo 2

Reescrevendo a raiz em forma de potência, temos
raiz[4]sec^3 x = (sec x)^34,
portanto o integrando fica
tan x,(sec x)^34.

Passo 3

Fazemos a substituição
u = sec x, du = sec x,tan x,dx ;Longrightarrow; tan x,dx = dusec x

Passo 4

Substituindo em integral tan x,(sec x)^34,dx, obtemos
integral (sec x)^34;dusec x = integral u^34-1,du = integral u^-14,du

Passo 5

Integramos a potência de u:
integral u^-14,du = u^-14+1-tfrac14+1 + C = u^34tfrac34 + C = 43,u^34 + C
Voltando a u=sec x, a primitiva é
43,(sec x)^34 + C.

Resposta

integral tan x raiz[4]sec^3 x,dx = 43,l(sec xr)^34 + C

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