Calcule as seguintes integrais. Justifique a sua resposta.
integral tg^7 xsec ^4 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral tan^7xsec^4x,dx
O conteúdo principal aqui são identidades trigonométricas para simplificar a expressão e depois usar substituição (u-substitution) baseada na derivada de cos x.

Passo 2

Usamos tan x = dfracsin xcos x e sec x = dfrac1cos x para reescrever o integrando:
tan^7xsec^4x = tan^7xcdotcos^4x = sin^7xcos^7x,cos^4x = sin^7xcos^3x

Passo 3

Note que sin^7x = sin x,( sin^2x )^3 = sin x,(1-cos^2x)^3. Então
sin^7xcos^3x = (1-cos^2x)^3,sin xcos^3x
Agora fazemos a substituição
u = cos x, du = -sin x,dx ;Longrightarrow; sin x,dx = -,du

Passo 4

Em u-variável a integral vira
integral (1-cos^2x)^3,sin xcos^3x,dx = -integral (1-u^2)^3u^3,du
Expandindo (1-u^2)^3 = 1 - 3u^2 + 3u^4 - u^6 e dividindo por u^3 obtemos
-integrall(u^-3-3u^-1+3u -u^3r),du

Passo 5

Integramos termo a termo:
integral u^-3,du = u^-2-2, integral u^-1,du = ln|u|, integral u,du = u^22, integral u^3,du = u^44
Com o sinal “ -” geral, fica
-l(tfracu^-2-2-3ln|u|+3tfracu^22-tfracu^44r) = 12u^2+3ln|u|-3u^22+u^44+C

Passo 6

Voltando a x (lembre u=cos x):
12cos^2x +3lnl|cos xr| -3cos^2x2 +cos^4x4 + C

Resposta

boxed integral tan^7xsec^4x,dx = 12cos^2x +3lnl|cos xr| -3cos^2x2 +cos^4x4 + C

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