• Exemplo 1. Sendo f(x) x^{2}, calcular \int_{0}^{1} f(x) d x, ou seja, determinar a área compreendida entre a parábola y=x^{2} e o eixo x, no intervalo 0 \leq x \leq 1.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=x^{2} e pede para calcular
\int_{0}^{1}f(x)\,dx,
ou seja, a área sob a parábola y=x^{2} no intervalo 0\le x\le1. O conteúdo envolvido é a integração de polinômio e o que vamos precisar é o Teorema Fundamental do Cálculo e a regra de potência para integrais.

Passo 2

Aplicamos a regra de potência: se f(x)=x^{n}, então uma primitiva é
F(x)=\frac{x^{n+1}}{n+1}.
Aqui n=2, logo escolhemos
F(x)=\frac{x^{3}}{3}.
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
\int_{0}^{1}x^{2}\,dx = F(1)-F(0) = \frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3} = \frac{1}{3}.

Passo 3

Interpretando o valor do integral como área, concluímos que a região limitada por y=x^{2}, o eixo x e as retas x=0 e x=1 tem área igual a \tfrac{1}{3}.

Resposta

A área é \displaystyle \frac{1}{3}.

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