Considere
. Sijam
e
.
Dediza que:
;
Passo 1
O enunciado dá:
-
em . -
. -
.
Pede-se provar a identidade
valendo para
e
.
Passo 2
Lembrando a definição de gradiente: para uma função escalar
,
onde
significa derivar
em relação a
mantendo
constantes (mesma ideia para as outras parciais). Também usaremos a regra da cadeia para derivadas compostas.
Passo 3
Escreve-se
em termos de
como
Assim podemos calcular as derivadas parciais de
usando a regra da cadeia aplicada à função
e à potência
.
Passo 4
Calculemos a derivada parcial em relação a
. Aplicando a regra da cadeia:
Como
, segue
Reconhecendo
, obtemos
Passo 5
Pelo mesmo raciocínio (simetria das coordenadas) obtemos as outras componentes:
Portanto o gradiente é
Passo 6
Mas
. Substituindo:
que é exatamente o que se queria mostrar.
Passo 7
Comentário curto de interpretação e casos especiais: a derivação usa
porque no ponto
as derivadas têm singularidade (por exemplo
não está definida em
). Exemplos rápidos para intuir:
- Se
a fórmula dá , que corresponde a . - Se
a fórmula dá , conhecida do potencial coulombiano.