Considere \vec{r} \in \mathbb{R}^{3}, \vec{r}=x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}. Sijam r=\|\vec{r}\| e \hat{r}=\frac{\vec{r}}{r}.
Dediza que:
\vec{\nabla} r^{\alpha}=\alpha r^{\alpha-2} \vec{r}, \alpha \in \mathbb{R}, \vec{r} \neq \overrightarrow{0};

Passo 1

O enunciado dá:
  • \vec{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k} em \mathbb{R}^{3}.
  • r=\|\vec{r}\|=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
  • \hat{r}=\dfrac{\vec{r}}{r}.
    Pede-se provar a identidade
\vec{\nabla}\,r^{\alpha}=\alpha\,r^{\alpha-2}\,\vec{r},
valendo para \alpha\in\mathbb{R} e \vec{r}\neq\vec{0}.

Passo 2

Lembrando a definição de gradiente: para uma função escalar f(x,y,z),
\vec{\nabla}f=\frac{\partial f}{\partial x}\,\hat{i}+\frac{\partial f}{\partial y}\,\hat{j}+\frac{\partial f}{\partial z}\,\hat{k},
onde \dfrac{\partial f}{\partial x} significa derivar f em relação a x mantendo y,z constantes (mesma ideia para as outras parciais). Também usaremos a regra da cadeia para derivadas compostas.

Passo 3

Escreve-se r^{\alpha} em termos de x,y,z como
r^{\alpha}=(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{\alpha/2}.
Assim podemos calcular as derivadas parciais de r^{\alpha} usando a regra da cadeia aplicada à função u=x^{2}+y^{2}+z^{2} e à potência u^{\alpha/2}.

Passo 4

Calculemos a derivada parcial em relação a x. Aplicando a regra da cadeia:
\frac{\partial}{\partial x}\big(r^{\alpha}\big) =\frac{\partial}{\partial x}\big((x^{2}+y^{2}+z^{2})^{\alpha/2}\big) =\frac{\alpha}{2}(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{\alpha/2-1}\cdot\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}+y^{2}+z^{2}).
Como \dfrac{\partial}{\partial x}(x^{2}+y^{2}+z^{2})=2x, segue
\frac{\partial}{\partial x}\big(r^{\alpha}\big) =\frac{\alpha}{2}(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{\alpha/2-1}\cdot 2x =\alpha x (x^{2}+y^{2}+z^{2})^{\alpha/2-1}.
Reconhecendo r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}, obtemos
\frac{\partial}{\partial x}\big(r^{\alpha}\big)=\alpha x\,r^{\alpha-2}.

Passo 5

Pelo mesmo raciocínio (simetria das coordenadas) obtemos as outras componentes:
\frac{\partial}{\partial y}\big(r^{\alpha}\big)=\alpha y\,r^{\alpha-2}, \qquad \frac{\partial}{\partial z}\big(r^{\alpha}\big)=\alpha z\,r^{\alpha-2}.
Portanto o gradiente é
\vec{\nabla}\,r^{\alpha} =\alpha r^{\alpha-2}\big(x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\big).

Passo 6

Mas x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}=\vec{r}. Substituindo:
\vec{\nabla}\,r^{\alpha}=\alpha\,r^{\alpha-2}\,\vec{r},
que é exatamente o que se queria mostrar.

Passo 7

Comentário curto de interpretação e casos especiais: a derivação usa r\neq 0 porque no ponto \vec{r}=\vec{0} as derivadas têm singularidade (por exemplo \partial r/\partial x = x/r não está definida em r=0). Exemplos rápidos para intuir:
  • Se \alpha=2 a fórmula dá \vec{\nabla}r^{2}=2\vec{r}, que corresponde a \vec{\nabla}(x^{2}+y^{2}+z^{2})=2(x,y,z).
  • Se \alpha=-1 a fórmula dá \vec{\nabla}(1/r)=-\,\vec{r}/r^{3}, conhecida do potencial coulombiano.

Resposta

\vec{\nabla}\,r^{\alpha}=\alpha\,r^{\alpha-2}\,\vec{r}

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