Calcule as seguintes integrais de linha: , onde é a interseção das superfícies e ;
Passo 1
Vamos resolver a integral de linha , onde a curva é a interseção das superfícies (uma esfera de raio 3) e (um plano). Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a curva e usar conceitos de cálculo vetorial, como parametrização de curvas e cálculo de integrais de linha.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar uma parametrização para a curva . A interseção da esfera e do plano nos dá uma curva específica no espaço.
Vamos resolver o sistema das equações:
⇒
Substituindo na equação da esfera:
Passo 3
Expandindo a segunda equação:
Simplificando:
Então:
Passo 4
Podemos reescrever essa equação para facilitar a parametrização:
Factorando:
Isso sugere que podemos parametrizar em termos de um ângulo, usando funções trigonométricas.
Passo 5
Vamos parametrizar como , de modo que . Então, temos:
onde theta varia de 0 a 2pi para percorrer toda a curva C.
Passo 6
Agora, precisamos calcular ds, o elemento de comprimento da curva. Primeiro, encontramos as derivadas das coordenadas em relação a theta:
dxdtheta = -32 sin theta dydtheta = 3 cos theta dzdtheta = 32 sin theta