e pede “calcular o gradiente do campo escalar dado”. Como o gradiente atua em campos escalares, concluímos que eles querem encontrar uma função potencial tal que
Isso envolve o conteúdo de campos conservativos e funções potenciais.
Passo 2
Verificamos primeiro se é conservativo, isto é, se o rotacional é zero:
Calcula-se facilmente cada componente e obtém-se nablatimes F=0. Logo existe potencial escalar f.
Passo 3
Integramos a primeira condição
partial fpartial x =-xraizx^2+y^2
Trata-se de
partial fpartial x =-partialpartial xraizx^2+y^2,
logo
f(x,y,z)=-raizx^2+y^2+g(y,z)
Passo 4
Agora impomos
partial fpartial y =-yraizx^2+y^2
Do candidato f=-raizx^2+y^2+g(y,z) vem
partial fpartial y =-yraizx^2+y^2 + partial gpartial y,
comparando com -tfracyraizx^2+y^2 obtemos partial g/partial y=0, isto é, g depende só de z.
Passo 5
Finalmente impomos
partial fpartial z=1
Como f=-raizx^2+y^2+g(z), temos g'(z)=1 e assim g(z)=z+C.
Resposta
Uma função potencial é
f(x,y,z)=-raizx^2+y^2+z + C,
pois de fato
nabla f =l(-tfracxraizx^2+y^2,,-tfracyraizx^2+y^2,,1r) =F(x,y,z)