Calcule o gradiente do campo escalar dado: -xraizx^2+y^2 l-yraizx^2+y^2 jmath+k;

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
F(x,y,z) = -xraizx^2+y^2,i -yraizx^2+y^2,j +1,k
e pede “calcular o gradiente do campo escalar dado”. Como o gradiente atua em campos escalares, concluímos que eles querem encontrar uma função potencial
f(x,y,z) tal que
nabla f(x,y,z)=F(x,y,z)
Isso envolve o conteúdo de campos conservativos e funções potenciais.

Passo 2

Verificamos primeiro se F é conservativo, isto é, se o rotacional é zero:
nablatimes F = i&j&k partialx&partialy&partialz -tfracxraizx^2+y^2&-tfracyraizx^2+y^2&1
Calcula-se facilmente cada componente e obtém-se nablatimes F=0. Logo existe potencial escalar f.

Passo 3

Integramos a primeira condição
partial fpartial x =-xraizx^2+y^2
Trata-se de
partial fpartial x =-partialpartial xraizx^2+y^2,
logo
f(x,y,z)=-raizx^2+y^2+g(y,z)

Passo 4

Agora impomos
partial fpartial y =-yraizx^2+y^2
Do candidato f=-raizx^2+y^2+g(y,z) vem
partial fpartial y =-yraizx^2+y^2 + partial gpartial y,
comparando com -tfracyraizx^2+y^2 obtemos
partial g/partial y=0, isto é, g depende só de z.

Passo 5

Finalmente impomos
partial fpartial z=1
Como f=-raizx^2+y^2+g(z), temos g'(z)=1 e assim g(z)=z+C.

Resposta

Uma função potencial é
f(x,y,z)=-raizx^2+y^2+z + C,
pois de fato
nabla f =l(-tfracxraizx^2+y^2,,-tfracyraizx^2+y^2,,1r) =F(x,y,z)

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