Calcule Calcule as seguintes Integrais de linha:
  • integralC(x^2+y^2) d r, onde C é definido por r(t)=(cos t+t sen t, sen t-t cos t) com t in[0,2 pi] ;
  • integralC 1x-y d r, onde C é o segmento de reta de extremos (0,-1) e (3,0);
  • integralC x y d r, onde C é a elipse 4 x^2+y^2=1
  • integralC(x+y) d r, onde C é a interseção da esfera x^2+y^2+z^2=1 com o plano y=x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular quatro integrais de linha do tipo
integral C f(x,y),dr
onde, para cada curva C, vamos (1) escolher uma parametrização r(t), (2) escrever fl(r(t)r) e o diferencial de arc-length ds=|r'(t)|,dt, e (3) efetuar a integral em t.

Passo 2

Integral 1: integral C(x^2+y^2),dr, com
r(t)=l(cos t + tsin t,;sin t - tcos tr), tin[0,2pi]
Calculamos
x^2+y^2=(cos t+tsin t)^2+(sin t - tcos t)^2=1+t^2,
e
r'(t)=(tcos t,;tsin t)Longrightarrow |r'(t)|=t
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integral0^2pi(1+t^2),t,dt =integral0^2pil(t+t^3r),dt =l[tfrac12t^2+tfrac14t^4r]0^2pi =2pi^2+4pi^4

Passo 3

Integral 2: integral C1x-y,dr, onde C é o segmento de (0,-1) a (3,0).
Parametrização:
r(t)=(3t,,-1+t), tin[0,1]
Então
x-y=3t-(-1+t)=1+2t, |r'(t)|=raiz3^2+1^2=raiz10
A integral fica
raiz10integral0^1dt1+2t =raiz10,l[tfrac12ln(1+2t)r]0^1 =raiz102ln 3

Passo 4

Integral 3: integral Cx,y,dr, com Ccolon 4x^2+y^2=1.
Parametrização natural da elipse:
x=tfrac12cos t,;y=sin t, tin[0,2pi]
Então
xy=tfrac12cos t;sin t=tfrac14sin2t,
e
dx=-tfrac12sin t,dt, dy=cos t,dt Longrightarrow ds=raiztfrac14sin^2t+cos^2t,dt
A função a integrar é ímpar sobre um período completo, de modo que
integral0^2pitfrac14sin2t, raiztfrac14sin^2t+cos^2t;dt=0

Passo 5

Integral 4: integral C(x+y),dr, onde C é a interseção da esfera x^2+y^2+z^2=1 com o plano y=x.
Esse círculo é um círculo máximo de raio 1 num plano que passa pela origem. Escolhendo base ortonormal no plano:
u=(1,1,0)raiz2, v=(0,0,1),
parametrizamos
r(theta)=costheta,u+sintheta,v, thetain[0,2pi]
Então
x+y=raiz2costheta, |r'(theta)|=1,
e
integral0^2piraiz2costheta,dtheta =raiz2l[sinthetar]0^2pi =0

Resposta

  • integral C(x^2+y^2),dr = 2pi^2+4pi^4
  • integral C1x-y,dr = tfracraiz102ln 3
  • integral Cx,y,dr = 0
  • integral C(x+y),dr = 0

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