Calcule Calcule as seguintes Integrais de linha:
-
, onde
é definido por
-
, onde
é o segmento de reta de extremos
e
;
-
, onde
é a elipse
-
, onde
é a interseção da esfera
com o plano
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular quatro integrais de linha do tipo
onde, para cada curva , vamos (1) escolher uma parametrização
, (2) escrever
e o diferencial de arc-length
, e (3) efetuar a integral em
.
onde, para cada curva
Passo 2
Integral 1:
, com
Calculamos
e
Logo
Passo 3
Integral 2:
, onde
é o segmento de
a
.
Parametrização:
Parametrização:
Então
A integral fica
Passo 4
Integral 3:
, com
.
Parametrização natural da elipse:
Parametrização natural da elipse:
Então
e
A função a integrar é ímpar sobre um período completo, de modo que
Passo 5
Integral 4:
, onde
é a interseção da esfera
com o plano
.
Esse círculo é um círculo máximo de raio 1 num plano que passa pela origem. Escolhendo base ortonormal no plano:
Esse círculo é um círculo máximo de raio 1 num plano que passa pela origem. Escolhendo base ortonormal no plano:
parametrizamos
Então
e