\frac{d y}{d x}-y=\operatorname{senh} x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
dydx - y = sinh x
Isso é uma equação linear na forma padrão dydx + p(x),y = q(x). Aqui temos p(x)=-1 e q(x)=sinh x. Vamos usar o fator integrante para encontrar a solução geral.

Passo 2

Calculamos o fator integrante mu(x) definido por
mu(x) = expl(integral p(x),dxr) = expl(integral -1,dxr) = e^-x

Passo 3

Multiplicamos toda a equação original por mu(x)=e^-x:
e^-xdydx - e^-xy = e^-xsinh x
O lado esquerdo é a derivada do produto e^-xy, pois
ddxl(e^-xyr) = e^-xdydx - e^-xy

Passo 4

Logo a equação fica
ddxl(e^-xyr) = e^-xsinh x
Integramos ambos os lados em relação a x:
e^-xy = integral e^-xsinh x,dx + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Para calcular
integral e^-xsinh x,dx, usamos sinh x = tfrace^x-e^-x2:
e^-xsinh x = 12l(e^-xe^x - e^-xe^-xr) = 12l(1 - e^-2xr)
Então
integral e^-xsinh x,dx = 12integrall(1 - e^-2xr)dx = 12x + 14e^-2x + widetilde C

Passo 6

Substituindo na expressão de e^-xy e absorvendo constantes, obtemos
e^-xy = 12x + 14e^-2x + C
Multiplicando por e^x:
y = e^xl(12x + 14e^-2x + Cr) = 12x,e^x + 14e^-x + C,e^x

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
boxedy(x) = C,e^x + 12,x,e^x + 14,e^-x,
onde C é a constante arbitrária.

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