Utilizando um fator integrante conveniente, resolva as equações diferenciais:
y d x+(y-x) d y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y,dx + (y - x),dy = 0
usando um fator integrante. Isso é um caso de forma diferencial
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
onde vamos checar exatidão e, se necessário, achar um fator integrante que torne a equação exata.

Passo 2

Identificamos
M(x,y) = y, N(x,y) = y - x
Calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y = 1, partial Npartial x = -1
Como partial M/partial y neq partial N/partial x, a equação não é exata.

Passo 3

Testamos fator integrante que dependa só de y. Para isso usamos a expressão
partial Npartial x - partial Mpartial yM = -1 - 1y = -2y,
que de fato é função apenas de y. Logo podemos tomar
mu(y) = exp!l(integral -tfrac2y,dyr) = expl(-2ln|y|r) = y^-2

Passo 4

Multiplicamos toda a equação por mu(y)=y^-2:
yy^2,dx ;+;y - xy^2,dy = 0 Longrightarrow 1y,dx + l(1y - xy^2r),dy = 0
Agora definimos
M^*(x,y) = 1y, N^*(x,y) = 1y - xy^2,
e verificamos que partial M^*/partial y = -1/y^2 = partial N^*/partial x, ou seja, a forma é exata.

Passo 5

Como é exata, existe phi(x,y) tal que
partial phipartial x = M^* = 1y, partial phipartial y = N^* = 1y - xy^2
Integramos a primeira em relação a x:
phi(x,y) = integral 1y,dx = xy + h(y)
Para achar h(y), derivamos em y e igualamos a N^*:
partial phipartial y = -xy^2 + h'(y) stackrel!= 1y - xy^2 Longrightarrow h'(y) = 1y ;Longrightarrow; h(y) = ln!l|yr|
Assim
phi(x,y) = xy + ln!l|yr|

Passo 6

A solução geral vem de
phi(x,y) = C ;Longrightarrow; xy + ln!l|yr| = C,
onde C é constante arbitrária.

Resposta

xy + ln!l|yr| = C

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