Utilizando um fator integrante conveniente, resolva as equações diferenciais:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
usando um fator integrante. Isso é um caso de forma diferencial
onde vamos checar exatidão e, se necessário, achar um fator integrante que torne a equação exata.
Passo 2
Identificamos
Calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata.
Passo 3
Testamos fator integrante que dependa só de
. Para isso usamos a expressão
que de fato é função apenas de
. Logo podemos tomar
Passo 4
Multiplicamos toda a equação por
:
Agora definimos
e verificamos que
, ou seja, a forma é exata.
Passo 5
Como é exata, existe
tal que
Integramos a primeira em relação a
:
Para achar
, derivamos em
e igualamos a
:
Assim
Passo 6
A solução geral vem de
onde
C é constante arbitrária.