Calcule as seguintes integrais de linha, integralC f d s, de funções escalares sobre as curvas C, onde
f(x, y, z)=e^raizz e C é definida por sigma(t)=(1,2, t^2), t in[0,1].

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntos! A questão pede para calcular a integral de linha , onde . A curva é definida por para entre 0 e 1. Para resolver isso, vamos usar a parametrização da curva e entender como (o elemento de arco) se relaciona com .

Passo 2

Primeiro, precisamos expressar f(x, y, z) = e^raizz = e^raizt^2 = e^t em termos de . Sabemos que na curva , as coordenadas são , e . Então, substituindo por na função , temos:

Passo 3

Agora, vamos calcular ds = raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 + (dzdt)^2 , dt , que representa um pequeno pedaço do comprimento da curva. Para isso, usamos a fórmula:
dxdt = 0 (porque x = 1 é constante)
Vamos calcular cada derivada:
dydt = 0 (porque y = 2 é constante) é
dzdt = 2t é
ds = raiz0^2 + 0^2 + (2t)^2 , dt = raiz4t^2 , dt = 2t , dt
Substituindo na fórmula de :

Passo 4

Agora que temos integralC f , ds = integral0^1 e^t cdot 2t , dt e em termos de , podemos montar a integral de linha:

Passo 5

Vamos calcular essa integral:
integral0^1 2t e^t , dt
Para resolver essa integral, usamos a técnica de integração por partes, onde:
u = 2t Rightarrow du = 2 , dt
dv = e^t , dt Rightarrow v = e^t
Aplicando a integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du = 2t e^t - integral 2 e^t , dt = 2t e^t - 2 e^t + C
Agora, avaliamos de 0 a 1:
[ 2t e^t - 2 e^t ]0^1 = (2 cdot 1 cdot e^1 - 2 e^1) - (0 - 2 e^0) = (2e - 2e) - (-2) = 0 + 2 = 2

Resposta

O valor da integral de linha é .

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