Calcule as seguintes integrais de linha,
, de funções escalares sobre as curvas
, onde
e
é definida por
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntos! A questão pede para calcular a integral de linha
, onde
. A curva
é definida por
para
entre 0 e 1. Para resolver isso, vamos usar a parametrização da curva e entender como
(o elemento de arco) se relaciona com
.
Passo 2
Primeiro, precisamos expressar
em termos de
. Sabemos que na curva
, as coordenadas são
,
e
. Então, substituindo
por
na função
, temos:
Passo 3
Agora, vamos calcular
, que representa um pequeno pedaço do comprimento da curva. Para isso, usamos a fórmula:
Vamos calcular cada derivada:
Substituindo na fórmula de
:
Passo 4
Agora que temos
e
em termos de
, podemos montar a integral de linha:
Passo 5
Vamos calcular essa integral:
Para resolver essa integral, usamos a técnica de integração por partes, onde:
Aplicando a integração por partes:
Agora, avaliamos de 0 a 1:
Resposta
O valor da integral de linha é
.