Seja gamma:[a, b] R^n uma curva com derivada continua em [a, b]. Definimos o comprimento L(gamma) da curva gamma por
L(gamma)=integrala^b|gamma^prime(t)| d t
Calcule o comprimento da curva dada.
© gamma(t)=(cos t, sin t, e^-t), t in[0, pi];

Passo 1

O enunciado pede para calcular o comprimento da curva gamma:[0,pi]to R^3 dada por gamma(t)=(cos t,sin t,e^-t), usando a fórmula de comprimento de arco L(gamma)=integrala^b|gamma'(t)|,dt. Vamos precisar de derivada, norma e técnica de substituição para resolver.

Passo 2

Primeiro, derivamos componente a componente:
gamma'(t)=(-sin t,cos t,-e^-t)
e então usamos a definição de norma em R^3:
|gamma'(t)|=raiz(-sin t)^2+(cos t)^2+(-e^-t)^2=raiz1+e^-2t

Passo 3

Com isso, o comprimento vira a integral
L(gamma)=integral0^piraiz1+e^-2t,dt

Passo 4

Para avaliar essa integral, fazemos a substituição u=e^-t, de modo que du=-e^-tdt=-u,dt, ou seja dt=-duu. Quando t=0 vem u=1, e quando t=pi vem u=e^-pi. Assim:
L(gamma)=integralu=1^u=e^-piraiz1+u^2,l(-tfracduur)=integrale^-pi^1raiz1+u^2u,du

Passo 5

A primitiva de tfracraiz1+u^2u pode ser obtida por substituição hiperbólica u=sinhtheta ou reconhecida na forma fechada:
F(u)=raiz1+u^2+lnl(u1+raiz1+u^2r)+C
Aí avaliamos de u=e^-pi até u=1.

Passo 6

Aplicando os limites, temos:
L(gamma)=l[raiz1+u^2+lnu1+raiz1+u^2r]e^-pi^1 =l(raiz2-ln(1+raiz2)r)-l(raiz1+e^-2pi-pi-lnl(1+raiz1+e^-2pir)r)
Reagrupando, chega-se à expressão final abaixo.

Resposta

L(gamma)=pi+raiz2-raiz1+e^-2pi+ln!l(1+raiz1+e^-2pi1+raiz2r)

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