Determine a primitiva para cada função escrevendo integral f(x) d x ou integral f(theta) d theta ou integral f(t) d t e calculando a integral indefinida. Verifique sua resposta derivando.
f(x)=(2 x-3)^2

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a primitiva de f(x)=(2x−3)², ou seja, calcular ∫f(x)dx e depois verificar derivando. O conteúdo envolve integração de funções polinomiais e aplicação da regra da cadeia inversa (substituição).

Passo 2

Uma forma eficiente é usar substituição. Definimos u=2x−3 para simplificar a expressão interna ao quadrado. Então temos du=2dx, ou seja dx=du/2.
Substituindo na integral obtemos: ∫(2x−3)²dx = ∫u²⋅(du/2) = (1/2)∫u²du. Aqui aplicamos a regra de potência para integrar u².

Passo 3

Integrando u²: (1/2)⋅(u³/3)+C = u³/6 + C. Voltando à variável x, a primitiva é (2x−3)³/6 + C.

Passo 4

Para verificar, derivamos F(x)=(2x−3)³/6: F′(x)=(1/6)⋅3(2x−3)²⋅2 = (2x−3)², que é justamente f(x).

Resposta

A primitiva é F(x)=\frac{(2x-3)^3}{6}+C, pois d/dx\bigl[(2x-3)3/6\bigr]=(2x-3)2.

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