Calcule as seguintes integrais de linha ao longo da curva indicada: integralgamma(x^2+x y) d s, gamma consiste dos segmentos de reta de (0,0) a (2,0) e de (2,0) a (3,2).
Resp. 173.

Passo 1

O problema quer calcular a integral de linha de uma função escalar ao longo de uma curva ,gamma composta por dois segmentos retos. O conteúdo é integral de linha do tipo
integralgamma f(x,y),ds, f(x,y)=x^2+xy,
e precisamos parametrizar cada trecho, calcular ds e integrar.

Passo 2

Para o primeiro segmento de (0,0) a (2,0), podemos usar a parametrização
x(t)=t, y(t)=0, tin[0,2]
Aqui dx/dt=1, dy/dt=0, então
ds=raiz(dx/dt)^2+(dy/dt)^2,dt=1,dt
A função se torna f(t,0)=t^2, logo
I1=integral0^2 t^2,dt=[t^33]0^2=83

Passo 3

Para o segundo segmento de (2,0) a (3,2), tomamos
x(t)=2+t, y(t)=2t, tin[0,1]
Então dx/dt=1, dy/dt=2 e
ds=raiz1^2+2^2,dt=raiz5,dt
A função fica
f(x(t),y(t))=(2+t)^2+(2+t)(2t)=4+8t+3t^2
Logo
I2=integral0^1 (4+8t+3t^2)raiz5,dt=raiz5integral0^1(4+8t+3t^2),dt=raiz5l[4t+4t^2+t^3r]0^1=9raiz5

Passo 4

Somando as duas contribuições da curva inteira, obtemos
I=I1+I2=83+9raiz5

Resposta

83+9raiz5

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