Calcule as seguintes integrais de linha ao longo dos respectivos caminhos indicados:
F(x, y)=(y^2-z^2) i+2 y z j-x^2 k, ao longo da trajetória alpha(t)=t i+t^2 j+t^3 k, t in[0,1].

Passo 1

Nesse problema queremos calcular a integral de linha de um campo vetorial em ,R^3 ao longo de uma curva paramétrica. O campo é vec F(x,y,z)=(y^2-z^2),i+2yz,j-x^2,k e a curva é alpha(t)=(t,t^2,t^3), com t variando de 0 a 1. Para resolver, vamos usar a definição de integral de linha:

Passo 2

A integral de linha de vec F ao longo de alpha é dada por
integralCvec Fcdot dvec r=integral0^1vec F(alpha(t))cdotalpha'(t),dt

Passo 3

Primeiro, substituímos x=t, y=t^2 e z=t^3 em vec F:
vec F(alpha(t))= l((t^2)^2-(t^3)^2,,2,t^2,t^3,,-t^2r) =(t^4-t^6,,2t^5,,-t^2)

Passo 4

Em seguida, derivamos a parametrização para obter
alpha'(t)=(1,,2t,,3t^2)

Passo 5

Agora fazemos o produto escalar
vec F(alpha(t))cdotalpha'(t) =(t^4-t^6)cdot1+2t^5cdot(2t)+(-t^2)cdot(3t^2) =t^4-t^6+4t^6-3t^4=-2t^4+3t^6

Passo 6

Por fim, integramos de 0 a 1:
integral0^1(-2t^4+3t^6),dt =-2integral0^1t^4,dt+3integral0^1t^6,dt =-2cdot15+3cdot17=-25+37=135

Resposta

135

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