Um campo de forças
é dado por
. Essa força age em uma partícula que se move do ponto
ao ponto
ao longo de uma curva
, onde
. Encontre o valor de
para que o trabalho realizado pela força
seja máxima. Resp.
.
Passo 1
A questão pede para calcular o trabalho de um campo de forças
ao longo da curva
de
a
e depois escolher
que maximize esse trabalho. O conteúdo envolvido é integral de linha de um campo de forças e otimização de uma função de parâmetro.
Passo 2
Para usar a integral de linha, parametrizamos a curva por
com
. Assim,
. Também escrevemos
em função de
substituindo
e
.
Passo 3
O trabalho é
Calculando o produto escalar, chega-se a integrando em
:
Passo 4
Avalia-se a integral e encontra-se
Passo 5
Para maximizar
, derivamos em relação a
, igualamos a zero por meio do logaritmo:
Passo 6
Resolvendo
resulta em
e, como
, fica