Um campo de forças F é dado por F(x, y)=(x- 12) i+x(y-12) j. Essa força age em uma partícula que se move do ponto (0,0) ao ponto (1,1) ao longo de uma curva y(x)=x^a, onde a>0. Encontre o valor de a para que o trabalho realizado pela força F seja máxima. Resp. a=1 / raiz2.

Passo 1

A questão pede para calcular o trabalho de um campo de forças vec F(x,y)=(x-1/2), i + x(y-1/2), j ao longo da curva y=x^a de (0,0) a (1,1) e depois escolher a>0 que maximize esse trabalho. O conteúdo envolvido é integral de linha de um campo de forças e otimização de uma função de parâmetro.

Passo 2

Para usar a integral de linha, parametrizamos a curva por x=t, y=t^a com tin[0,1]. Assim, dvec r = d t, i + a,t^a-1 d t, j. Também escrevemos vec F em função de t substituindo x=t e y=t^a.

Passo 3

O trabalho é W(a)=integral0^1vec Fl(t,t^ar)cdot dvec r Calculando o produto escalar, chega-se a integrando em t:

Passo 4

Avalia-se a integral e encontra-se

Passo 5

Para maximizar W(a)=dfraca2(2a+1)(a+1), derivamos em relação a a, igualamos a zero por meio do logaritmo:

Passo 6

Resolvendo 1/a-2/(2a+1)-1/(a+1)=0 resulta em a^2=1/2 e, como a>0, fica

Resposta

a=tfrac1raiz2

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