Teste de Comparação no Limite: Suponha que sum an e sum bn sejam séries com termos positivos. Se
lim n infty anbn=c
onde c é um número finito e c>0, então ambas as séries convergem ou ambas as séries divergem.
Use o Teste de Comparação no Limite para estudar a convergência das seguintes séries:
1+13+15+17+cdots

Passo 1

Neste exercício vamos ver se a série dos inversos dos números ímpares converge ou diverge usando o teste de comparação no limite; o conteúdo é séries numéricas com termos positivos e vamos aplicar o teste de comparação no limite.

Passo 2

Definimos os termos da série original como an = 12n+1. Como série de comparação, escolhemos a harmônica sum bn com bn = 1n, cuja divergência já conhecemos.

Passo 3

Calculamos o limite do quociente entre os termos:
limntoinfty anbn = limntoinfty 12n+11n = limntoinfty n2n+1 = 12

Passo 4

Como o limite é um número finito e positivo ( c=1/2>0), o teste de comparação no limite nos diz que ambas as séries têm o mesmo comportamento. A harmônica diverge, logo a série dos inversos dos ímpares também diverge.

Resposta

A série diverge.

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