Defina o conjunto T=R^2-(x, y) mid y=0, x <= 0. Se (x, y) in T, considere x=r cos theta, y=r sin theta, r>0 e-pi.
Mostre que
partial thetapartial x=-yx^2+y^2, partial thetapartial y=xx^2+y^2

Passo 1

Resumindo o problema: no conjunto T (o plano semioixo negativo em x removido), representamos qualquer ponto (x,y) em coordenadas polares x = rcostheta, y = rsintheta com r>0 e -pi. Queremos encontrar as derivadas parciais partialtheta/partial x e partialtheta/partial y em função de x e y.

Passo 2

Da definição de coordenadas polares sabemos que
tantheta = yx, r^2 = x^2 + y^2
Essa relação implícita entre theta, x e y pode ser diferenciada.

Passo 3

Diferenciando implicitamente tantheta = tfracyx e usando d(tantheta)=sec^2theta,dtheta, além de cos^2theta = x^2/r^2, chegamos à fórmula diferencial
dtheta = x,dy - y,dxx^2 + y^2

Passo 4

Para calcular partialtheta/partial x, fixamos y (logo dy=0):
dtheta = -yx^2+y^2,dx
Portanto
partialthetapartial x = -yx^2+y^2
Analogamente, para partialtheta/partial y, fixamos x ( dx=0):
dtheta = xx^2+y^2,dy
Logo
partialthetapartial y = xx^2+y^2

Resposta

As derivadas parciais são partialthetapartial x = -yx^2+y^2 e partialthetapartial y = xx^2+y^2.

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