Calcule as seguintes integrais de linha ao longo dos respectivos caminhos indicados:
\vec{F}(x, y)=\left(x^{2}-2 x y\right) \hat{\imath}+\left(y^{2}-2 x y\right) \hat{\jmath}, entre os pontos (-1,1) e (1,1) ao longo da parábola y=x^{2} .( resp.: -14 / 15).

Passo 1

O enunciado fornece:
  • O campo vetorial \vec{F}(x,y)=\bigl(x^{2}-2xy\bigr)\,\hat{\imath}+\bigl(y^{2}-2xy\bigr)\,\hat{\jmath}.
  • O caminho é a parábola y=x^{2} que liga o ponto (-1,1) ao ponto (1,1).
  • Pede-se calcular a integral de linha de \vec{F} ao longo desse caminho, com orientação de (-1,1) para (1,1).
Informação que vamos usar (não é resolução ainda, só o que está dado):
  • O caminho pode ser parametrizado por uma única variável t usando x(t) e y(t).
  • A integral de linha de um campo \vec{F} ao longo de uma curva C parametrizada por \vec{r}(t), t\in[a,b], é
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{a}^{b}\vec{F}\bigl(\vec{r}(t)\bigr)\cdot\vec{r}\,'(t)\,dt.

Passo 2

Parametrização do caminho (a parábola y=x^{2} entre (-1,1) e (1,1)):
  • Tomamos x=t e y=t^{2}.
  • Para passar de (-1,1) a (1,1) com essa parametrização, escolhemos o intervalo
t\in[-1,1].
Portanto a parametrização é
\vec{r}(t)=\bigl(t,\,t^{2}\bigr),\qquad t\in[-1,1].
Derivada da parametrização:
\vec{r}\,'(t)=\bigl(1,\,2t\bigr).
Explicação curta do porquê: \vec{r}(t) descreve pontos da parábola; em t=-1 temos \vec{r}(-1)=(-1,1) e em t=1 temos \vec{r}(1)=(1,1), portanto o intervalo está correto.

Passo 3

Substituir a parametrização no campo \vec{F} para obter \vec{F}\bigl(\vec{r}(t)\bigr).
Componentes de \vec{F}:
F_{x}(x,y)=x^{2}-2xy,\qquad F_{y}(x,y)=y^{2}-2xy.
Substituindo x=t e y=t^{2}:
F_{x}\bigl(\vec{r}(t)\bigr)=t^{2}-2t\cdot t^{2}=t^{2}-2t^{3},
F_{y}\bigl(\vec{r}(t)\bigr)=t^{4}-2t\cdot t^{2}=t^{4}-2t^{3}.
Logo
\vec{F}\bigl(\vec{r}(t)\bigr)=\bigl(t^{2}-2t^{3},\;t^{4}-2t^{3}\bigr).

Passo 4

Montar o integrando \vec{F}(\vec{r}(t))\cdot\vec{r}\,'(t) e simplificar.
Produto escalar:
\vec{F}\bigl(\vec{r}(t)\bigr)\cdot\vec{r}\,'(t) =(t^{2}-2t^{3})\cdot 1 \;+\; (t^{4}-2t^{3})\cdot(2t).
Calcule termo a termo:
(t^{2}-2t^{3}) + 2t\,(t^{4}-2t^{3}) = t^{2}-2t^{3} + 2t^{5}-4t^{4}.
Ordenando por potências:
\vec{F}\bigl(\vec{r}(t)\bigr)\cdot\vec{r}\,'(t)=2t^{5}-4t^{4}-2t^{3}+t^{2}.
Explicação didática: cada termo vem da multiplicação componente a componente; dá um polinômio em t. Note que alguns termos são funções ímpares (como t^{5}, t^{3}) e outros pares (como t^{4}, t^{2}) — isso vai facilitar a integral no intervalo simétrico.

Passo 5

Escrever a integral de linha como integral em t e usar simetrias para simplificar.
A integral pedida é
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{-1}^{1}\bigl(2t^{5}-4t^{4}-2t^{3}+t^{2}\bigr)\,dt.
Observação sobre paridade:
  • Termos 2t^{5} e -2t^{3} são funções ímpares. A integral de uma função ímpar num intervalo simétrico [-1,1] é zero.
  • Termos -4t^{4} e t^{2} são funções pares. A integral de uma função par em [-1,1] é duas vezes a integral de 0 a 1.
Portanto
\int_{-1}^{1}\bigl(2t^{5}-4t^{4}-2t^{3}+t^{2}\bigr)\,dt = \int_{-1}^{1}\bigl(-4t^{4}+t^{2}\bigr)\,dt =2\int_{0}^{1}\bigl(-4t^{4}+t^{2}\bigr)\,dt.

Passo 6

Calcular a integral numérica passo a passo.
Calcule a integral de -4t^{4}+t^{2} em [0,1]:
\int_{0}^{1}\bigl(-4t^{4}+t^{2}\bigr)\,dt = -4\int_{0}^{1}t^{4}\,dt + \int_{0}^{1}t^{2}\,dt.
Usando \int_{0}^{1}t^{n}\,dt=\dfrac{1}{n+1} para n>-1:
\int_{0}^{1}t^{4}\,dt=\frac{1}{5},\qquad \int_{0}^{1}t^{2}\,dt=\frac{1}{3}.
Substituindo:
-4\cdot\frac{1}{5}+\frac{1}{3}= -\frac{4}{5}+\frac{1}{3}.
Colocando em denominador comum 15:
-\frac{4}{5}+\frac{1}{3}=-\frac{12}{15}+\frac{5}{15}=-\frac{7}{15}.
Como a integral em [-1,1] é o dobro:
2\cdot\left(-\frac{7}{15}\right)=-\frac{14}{15}.

Passo 7

Interpretação final e checagem rápida:
  • O resultado negativo indica que, no sentido dado (de (-1,1) para (1,1)), o trabalho realizado pelo campo ao longo da parábola é negativo.
  • Verificação de consistência: os termos ímpares cancelaram pela simetria, e os cálculos das potências e das integrais foram feitos com fórmulas padrão \int t^{n}dt=t^{n+1}/(n+1), o que confirma o valor obtido.

Resposta

-\tfrac{14}{15}

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