Calcule as seguintes integrais de linha ao longo dos respectivos caminhos indicados:
, entre os pontos
e
ao longo da parábola
resp.:
.
Passo 1
O enunciado fornece:
- O campo vetorial
. - O caminho é a parábola
que liga o ponto ao ponto . - Pede-se calcular a integral de linha de
ao longo desse caminho, com orientação de para .
Informação que vamos usar (não é resolução ainda, só o que está dado):
- O caminho pode ser parametrizado por uma única variável
usando e . - A integral de linha de um campo
ao longo de uma curva parametrizada por , , é
Passo 2
Parametrização do caminho (a parábola
entre
e
):
- Tomamos
e . - Para passar de
a com essa parametrização, escolhemos o intervalo
Portanto a parametrização é
Derivada da parametrização:
Explicação curta do porquê:
descreve pontos da parábola; em
temos
e em
temos
, portanto o intervalo está correto.
Passo 3
Substituir a parametrização no campo
para obter
.
Componentes de
:
Substituindo
e
:
Logo
Passo 4
Montar o integrando
e simplificar.
Produto escalar:
Calcule termo a termo:
Ordenando por potências:
Explicação didática: cada termo vem da multiplicação componente a componente; dá um polinômio em
. Note que alguns termos são funções ímpares (como
,
) e outros pares (como
,
) — isso vai facilitar a integral no intervalo simétrico.
Passo 5
Escrever a integral de linha como integral em
e usar simetrias para simplificar.
A integral pedida é
Observação sobre paridade:
- Termos
e são funções ímpares. A integral de uma função ímpar num intervalo simétrico é zero. - Termos
e são funções pares. A integral de uma função par em é duas vezes a integral de a .
Portanto
Passo 6
Calcular a integral numérica passo a passo.
Calcule a integral de
em
:
Usando
para
:
Substituindo:
Colocando em denominador comum
:
Como a integral em
é o dobro:
Passo 7
Interpretação final e checagem rápida:
- O resultado negativo indica que, no sentido dado (de
para ), o trabalho realizado pelo campo ao longo da parábola é negativo. - Verificação de consistência: os termos ímpares cancelaram pela simetria, e os cálculos das potências e das integrais foram feitos com fórmulas padrão
, o que confirma o valor obtido.