Se o potencial eletromagnético é dado por
\overrightarrow{\mathbf{A}}(x, y, z)=\frac{y z}{r\left(x^{2}+y^{2}\right)} \hat{\imath}-\frac{x z}{r\left(x^{2}+y^{2}\right)} \hat{\jmath}
calcule a indução magnética \overrightarrow{\mathbf{B}}=\nabla \times \overrightarrow{\mathbf{A}}. (resp.: \overrightarrow{\mathbf{B}}=\frac{\hat{r}}{r^{2}} ). Lembre-se que r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}. (Dica inicial: pode-se usar qualquer resultado da Lista 1).

Passo 1

O enunciado dá o potencial vetorial
\overrightarrow{\mathbf{A}}(x,y,z)=\frac{y z}{r\left(x^{2}+y^{2}\right)}\hat{\imath}-\frac{x z}{r\left(x^{2}+y^{2}\right)}\hat{\jmath},
com r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
Pede-se calcular a indução magnética (o rotacional)
\overrightarrow{\mathbf{B}}=\nabla\times\overrightarrow{\mathbf{A}},
e o resultado esperado é
\overrightarrow{\mathbf{B}}=\frac{\hat{r}}{r^{2}}.
Informações relevantes dadas:
  • Componentes de \overrightarrow{\mathbf{A}} em coordenadas cartesianas: A_x=\dfrac{y z}{r(x^2+y^2)}, A_y=-\dfrac{x z}{r(x^2+y^2)}, A_z=0.
  • r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}.
    A partir daqui vamos calcular \nabla\times\mathbf{A}.

Passo 2

Motivação para escolher coordenadas cilíndricas (mais conveniente): a dependência de x e y aparece sempre combinada em x^2+y^2, então é natural usar
\rho=\sqrt{x^2+y^2},\qquad \varphi=\arctan\!\left(\frac{y}{x}\right),\qquad z=z,
com as relações
x=\rho\cos\varphi,\qquad y=\rho\sin\varphi,
e os vetores unitários \hat{\rho},\hat{\varphi},\hat{z}. Vou mostrar que \mathbf{A} tem apenas componente azimutal (\hat{\varphi}), o que simplifica muito o cálculo do rotacional.
Calcule a projeção de \mathbf{A} sobre \hat{\varphi}. Lembrando que
\hat{\varphi}=-\sin\varphi\,\hat{\imath}+\cos\varphi\,\hat{\jmath}=\left(-\frac{y}{\rho}\right)\hat{\imath}+\left(\frac{x}{\rho}\right)\hat{\jmath},
temos
A_\varphi=\mathbf{A}\cdot\hat{\varphi} = A_x\left(-\frac{y}{\rho}\right)+A_y\left(\frac{x}{\rho}\right).
Substituindo A_x e A_y:
A_\varphi=\frac{y z}{r\rho^2}\left(-\frac{y}{\rho}\right)+\left(-\frac{x z}{r\rho^2}\right)\left(\frac{x}{\rho}\right) =\frac{z}{r\rho^3}\left(-y^2-x^2\right) =-\frac{z}{r\rho}.
Portanto \mathbf{A} é puramente azimutal:
\mathbf{A}=A_\varphi\,\hat{\varphi},\qquad A_\varphi=-\frac{z}{r\rho}.
Obs.: aqui usei explicitamente que peguei os dados das componentes A_x,A_y dadas no enunciado.

Passo 3

Agora uso a expressão do rotacional em coordenadas cilíndricas. Para um campo com componentes A_\rho=0, A_\varphi=A_\varphi(\rho,z) (independente de \varphi) e A_z=0, as componentes do rotacional são:
(\nabla\times\mathbf{A})_\rho=-\frac{\partial A_\varphi}{\partial z},
(\nabla\times\mathbf{A})_\varphi=0,
(\nabla\times\mathbf{A})_z=\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho A_\varphi)}{\partial \rho}.
Essas fórmulas vêm da fórmula geral do rotacional em coordenadas cilíndricas aplicada ao caso \partial/\partial\varphi=0 e A_\rho=A_z=0. Vou calcular as duas derivadas necessárias.

Passo 4

Calcule (\nabla\times\mathbf{A})_\rho=-\dfrac{\partial A_\varphi}{\partial z}. Como
A_\varphi=-\frac{z}{r\rho}=-\frac{z}{\rho}\,r^{-1},
temos
-\frac{\partial A_\varphi}{\partial z} = -\frac{\partial}{\partial z}\left(-\frac{z}{\rho}\,r^{-1}\right) = \frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{z}{\rho}\,r^{-1}\right).
Aqui \rho é tratado como constante ao derivar em relação a z. Calcule a derivada usando a regra do produto:
\frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{z}{\rho}\,r^{-1}\right) =\frac{1}{\rho}\left(r^{-1}+z\frac{\partial (r^{-1})}{\partial z}\right).
Agora \partial (r^{-1})/\partial z = -r^{-2}\,\partial r/\partial z e \partial r/\partial z=z/r. Assim
\frac{\partial (r^{-1})}{\partial z}=-\frac{z}{r^3}.
Substituindo:
\frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{z}{\rho}\,r^{-1}\right) =\frac{1}{\rho}\left(\frac{1}{r}+z\left(-\frac{z}{r^3}\right)\right) =\frac{1}{\rho}\left(\frac{1}{r}-\frac{z^2}{r^3}\right).
Juntando frações:
\frac{1}{r}-\frac{z^2}{r^3}=\frac{r^2-z^2}{r^3}=\frac{\rho^2}{r^3},
pois r^2=\rho^2+z^2. Portanto
(\nabla\times\mathbf{A})_\rho=\frac{1}{\rho}\cdot\frac{\rho^2}{r^3}=\frac{\rho}{r^3}.

Passo 5

Calcule (\nabla\times\mathbf{A})_z=\dfrac{1}{\rho}\dfrac{\partial(\rho A_\varphi)}{\partial\rho}. Primeiro
\rho A_\varphi=\rho\left(-\frac{z}{r\rho}\right)=-\frac{z}{r}.
Derivando em relação a \rho (mantendo z fixo):
\frac{\partial}{\partial\rho}\left(-\frac{z}{r}\right)=-z\frac{\partial (r^{-1})}{\partial\rho} =-z\left(-\frac{1}{r^2}\frac{\partial r}{\partial\rho}\right) =z\frac{1}{r^2}\frac{\rho}{r} =\frac{z\rho}{r^3}.
Agora divide por \rho:
(\nabla\times\mathbf{A})_z=\frac{1}{\rho}\cdot\frac{z\rho}{r^3}=\frac{z}{r^3}.

Passo 6

Reúna as componentes obtidas (em coordenadas cilíndricas):
\overrightarrow{\mathbf{B}}=(\nabla\times\mathbf{A})_\rho\,\hat{\rho}+(\nabla\times\mathbf{A})_\varphi\,\hat{\varphi}+(\nabla\times\mathbf{A})_z\,\hat{z} =\frac{\rho}{r^3}\,\hat{\rho}+0\cdot\hat{\varphi}+\frac{z}{r^3}\,\hat{z}.
Note que o vetor posição é \overrightarrow{\mathbf{r}}=\rho\,\hat{\rho}+z\,\hat{z}. Assim
\overrightarrow{\mathbf{B}}=\frac{1}{r^3}\left(\rho\,\hat{\rho}+z\,\hat{z}\right)=\frac{\overrightarrow{\mathbf{r}}}{r^3}.
Como \hat{r}=\overrightarrow{\mathbf{r}}/r, obtemos
\overrightarrow{\mathbf{B}}=\frac{\hat{r}}{r^{2}}.

Passo 7

Observações finais e domínio de validade (importante para prova): a expressão dada para \mathbf{A} é singular quando \rho=0 (e também onde x^2+y^2=0), isto é, ao longo do eixo z. O cálculo do rotacional acima é válido para pontos onde \rho\neq0 (fora do eixo z). Em termos físicos, \mathbf{A} é o potencial de um monopolo magnético com uma linha singular (string) sobre o eixo; o campo \mathbf{B} resultante é radial com módulo 1/r^2 fora da singularidade.

Resposta

\overrightarrow{\mathbf{B}}=\frac{\hat{r}}{r^{2}}

Exercícios relacionados