Se o potencial eletromagnético é dado por
calcule a indução magnética
. (resp.:
). Lembre-se que
. (Dica inicial: pode-se usar qualquer resultado da Lista 1).
Passo 1
O enunciado dá o potencial vetorial
com
.
Pede-se calcular a indução magnética (o rotacional)
Pede-se calcular a indução magnética (o rotacional)
e o resultado esperado é
Informações relevantes dadas:
- Componentes de
em coordenadas cartesianas: , , . -
.
A partir daqui vamos calcular.
Passo 2
Motivação para escolher coordenadas cilíndricas (mais conveniente): a dependência de
e
aparece sempre combinada em
, então é natural usar
com as relações
e os vetores unitários
. Vou mostrar que
tem apenas componente azimutal
, o que simplifica muito o cálculo do rotacional.
Calcule a projeção de
sobre
. Lembrando que
temos
Substituindo
e
:
Portanto
é puramente azimutal:
Obs.: aqui usei explicitamente que peguei os dados das componentes
dadas no enunciado.
Passo 3
Agora uso a expressão do rotacional em coordenadas cilíndricas. Para um campo com componentes
,
(independente de
) e
, as componentes do rotacional são:
Essas fórmulas vêm da fórmula geral do rotacional em coordenadas cilíndricas aplicada ao caso
e
. Vou calcular as duas derivadas necessárias.
Passo 4
Calcule
. Como
temos
Aqui
é tratado como constante ao derivar em relação a
. Calcule a derivada usando a regra do produto:
Agora
e
. Assim
Substituindo:
Juntando frações:
pois
. Portanto
Passo 5
Calcule
. Primeiro
Derivando em relação a
(mantendo
fixo):
Agora divide por
:
Passo 6
Reúna as componentes obtidas (em coordenadas cilíndricas):
Note que o vetor posição é
. Assim
Como
, obtemos
Passo 7
Observações finais e domínio de validade (importante para prova): a expressão dada para
é singular quando
(e também onde
), isto é, ao longo do eixo
. O cálculo do rotacional acima é válido para pontos onde
(fora do eixo
). Em termos físicos,
é o potencial de um monopolo magnético com uma linha singular (string) sobre o eixo; o campo
resultante é radial com módulo
fora da singularidade.