Mostre que
\oint_{C} y d x+x d y=0
para qualquer curva fechada simples C.

Passo 1

O enunciado pede para provar que
\oint_{C} y\,d x + x\,d y = 0
para qualquer curva fechada simples C. Informações/hipóteses que vêm do enunciado e que vamos usar:
  • C é uma curva fechada simples (ou seja, uma curva que não se intersecta e cujo ponto inicial coincide com o ponto final), e assume-se que é parametrizável e que os coeficientes das diferenciais são funções com derivadas contínuas no interior da região limitada por C.
  • A integral indicada é uma integral de linha do tipo \oint_C P\,dx + Q\,dy com P(x,y)=y e Q(x,y)=x.
    O que precisamos mostrar: o valor dessa integral de linha sobre qualquer C fechado é igual a zero.

Passo 2

Definição rápida e prática: se \gamma:[a,b]\to\mathbb{R}^2 é uma parametrização de C dada por \gamma(t)=(x(t),y(t)), então a integral de linha
\oint_C y\,dx + x\,dy
é, pela definição, a integral de t=a até t=b
\int_a^b \bigl[\,y(t)\,x'(t) + x(t)\,y'(t)\,\bigr]\,dt.
Aqui x'(t)=\dfrac{dx}{dt} e y'(t)=\dfrac{dy}{dt}. Essa é a forma prática para calcular se tivermos uma parametrização explícita.

Passo 3

Observação central (ideia simples): a expressão y\,dx + x\,dy é exatamente a diferencial exata da função F(x,y)=x y. Vamos verificar:
d\bigl(xy\bigr) = \frac{\partial}{\partial x}(xy)\,dx + \frac{\partial}{\partial y}(xy)\,dy = y\,dx + x\,dy.
Explicando devagar: d(xy) é a variação infinitesimal de xy quando (x,y) varia; as derivadas parciais \partial (xy)/\partial x e \partial (xy)/\partial y são y e x respectivamente, por isso a fórmula acima.

Passo 4

Aplicação do Teorema Fundamental para integrais de linha (para campos gradiente):
Se um campo vetorial \mathbf{F}=(P,Q) é gradiente de alguma função F, ou seja, \mathbf{F}=\nabla F com P=\partial F/\partial x e Q=\partial F/\partial y, então a integral de linha entre dois pontos A e B ao longo de qualquer curva \gamma é simplesmente a diferença F(B)-F(A):
\int_{\gamma} P\,dx + Q\,dy = F(B)-F(A).
No nosso caso temos P=y, Q=x e vimos que F(x,y)=xy satisfaz \nabla F=(y,x). Assim, para uma curva orientada de um ponto A até um ponto B,
\int_{\gamma} y\,dx + x\,dy = F(B)-F(A).

Passo 5

Aplicando isso ao caso de curva fechada: para uma curva fechada simples C a parametrização começa e termina no mesmo ponto, digamos A=B. Então a diferença F(B)-F(A) é zero. Portanto
\oint_C y\,dx + x\,dy = 0.
Isto conclui a prova usando que y\,dx+x\,dy é um diferencial exato.

Passo 6

Comentário alternativo (útil para a prova ou para ver outra abordagem): usando o Teorema de Green, que diz
\oint_C P\,dx + Q\,dy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA,
onde D é a região interior a C. Aqui P=y e Q=x, então
\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial x}{\partial x} - \frac{\partial y}{\partial y} = 1 - 1 = 0.
Assim a integral dupla do integrando 0 sobre D é zero, logo a integral de linha é zero. Essa é uma verificação alternativa que exige as hipóteses do Teorema de Green (continuidade das derivadas parciais no fecho de D), mas chega ao mesmo resultado.

Passo 7

Pequeno exemplo para fixar (só para ver na prática): se C for o círculo unitário parametrizado por x(t)=\cos t, y(t)=\sin t, t\in[0,2\pi], então
\int_0^{2\pi} \bigl[\sin t\cdot(-\sin t) + \cos t\cdot\cos t\bigr]\,dt = \int_0^{2\pi} \bigl(-\sin^2 t + \cos^2 t\bigr)\,dt = \int_0^{2\pi} \cos(2t)\,dt = 0,
compatível com a prova geral.

Resposta

0

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