Mostre que
para qualquer curva fechada simples
.
Passo 1
O enunciado pede para provar que
para qualquer curva fechada simples
. Informações/hipóteses que vêm do enunciado e que vamos usar:
-
é uma curva fechada simples (ou seja, uma curva que não se intersecta e cujo ponto inicial coincide com o ponto final), e assume-se que é parametrizável e que os coeficientes das diferenciais são funções com derivadas contínuas no interior da região limitada por . - A integral indicada é uma integral de linha do tipo
com e .
O que precisamos mostrar: o valor dessa integral de linha sobre qualquerfechado é igual a zero.
Passo 2
Definição rápida e prática: se
é uma parametrização de
dada por
, então a integral de linha
é, pela definição, a integral de
até
Aqui
e
. Essa é a forma prática para calcular se tivermos uma parametrização explícita.
Passo 3
Observação central (ideia simples): a expressão
é exatamente a diferencial exata da função
. Vamos verificar:
Explicando devagar:
é a variação infinitesimal de
quando
varia; as derivadas parciais
e
são
e
respectivamente, por isso a fórmula acima.
Passo 4
Aplicação do Teorema Fundamental para integrais de linha (para campos gradiente):
Se um campo vetorial é gradiente de alguma função
, ou seja,
com
e
, então a integral de linha entre dois pontos
e
ao longo de qualquer curva
é simplesmente a diferença
:
Se um campo vetorial
No nosso caso temos
,
e vimos que
satisfaz
. Assim, para uma curva orientada de um ponto
até um ponto
,
Passo 5
Aplicando isso ao caso de curva fechada: para uma curva fechada simples
a parametrização começa e termina no mesmo ponto, digamos
. Então a diferença
é zero. Portanto
Isto conclui a prova usando que
é um diferencial exato.
Passo 6
Comentário alternativo (útil para a prova ou para ver outra abordagem): usando o Teorema de Green, que diz
onde
é a região interior a
. Aqui
e
, então
Assim a integral dupla do integrando
sobre
é zero, logo a integral de linha é zero. Essa é uma verificação alternativa que exige as hipóteses do Teorema de Green (continuidade das derivadas parciais no fecho de
), mas chega ao mesmo resultado.
Passo 7
Pequeno exemplo para fixar (só para ver na prática): se
for o círculo unitário parametrizado por
,
,
, então
compatível com a prova geral.
Resposta
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