Calcule as seguintes integrais
(1.3 \mathrm{pt}) \int\left(x^{2}+1\right) e^{-x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\left(x^{2}+1\right)e^{-x}\,dx.
Informações dadas:
  • A função integranda é a soma de duas partes: x^{2}e^{-x} e 1\cdot e^{-x}.
  • Quer-se a primitiva (integral indefinida), ou seja, um F(x) tal que F'(x)=(x^{2}+1)e^{-x}.
    Não há outras condições (constante de integração será adicionada no final).

Passo 2

Conceito importante que vou usar: fórmula de integração por partes. A fórmula diz que, para funções suficientemente suaves u(x) e v(x),
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Aqui u é uma função que escolhemos (de onde obtemos du), e dv é outra parte que integramos para obter v. Explico o que cada símbolo significa:
  • u é uma função de x escolhida para simplificar ao derivá-la;
  • dv é um pedaço do integrando que vamos integrar para obter v;
  • du é du/dx multiplicado por dx (ou seja, a derivada de u vezes dx);
  • v é uma primitiva de dv.
    Regra prática para escolher u: se houver um polinômio multiplicando uma função exponencial ou trigonométrica, é comum escolher o polinômio como u (porque deriva e fica menor) e a exponencial/trigonométrica como dv.

Passo 3

Aplicando essa ideia ao nosso integrando, é conveniente separar a integral em duas:
\int\left(x^{2}+1\right)e^{-x}\,dx = \int x^{2}e^{-x}\,dx + \int e^{-x}\,dx.
A integral \int e^{-x}\,dx é direta:
\int e^{-x}\,dx = -e^{-x} + C.
A parte que precisa de atenção é \int x^{2}e^{-x}\,dx. Para ela aplicaremos integração por partes repetidamente, escolhendo u como o polinômio.

Passo 4

Calcular \int x^{2}e^{-x}\,dx pela primeira vez por partes.
Escolha:
u = x^{2},\qquad dv = e^{-x}\,dx.
Então
du = 2x\,dx,\qquad v = \int e^{-x}\,dx = -e^{-x}.
Aplicando a fórmula \int u\,dv = uv - \int v\,du:
\int x^{2}e^{-x}\,dx = u v - \int v\,du = -x^{2}e^{-x} - \int \bigl(-e^{-x}\bigr)\cdot 2x\,dx.
Simplificando o sinal:
\int x^{2}e^{-x}\,dx = -x^{2}e^{-x} + 2\int x e^{-x}\,dx.

Passo 5

Agora calculamos \int x e^{-x}\,dx por partes (segunda aplicação).
Escolha:
u = x,\qquad dv = e^{-x}\,dx.
Então
du = dx,\qquad v = -e^{-x}.
Aplicando a fórmula:
\int x e^{-x}\,dx = u v - \int v\,du = -x e^{-x} - \int \bigl(-e^{-x}\bigr)\,dx.
Simplificando:
\int x e^{-x}\,dx = -x e^{-x} + \int e^{-x}\,dx.
E como \int e^{-x}\,dx = -e^{-x}, obtemos
\int x e^{-x}\,dx = -x e^{-x} - e^{-x} = -(x+1)e^{-x}.

Passo 6

Voltar à expressão encontrada no Passo 4:
\int x^{2}e^{-x}\,dx = -x^{2}e^{-x} + 2\int x e^{-x}\,dx.
Substituindo o resultado do Passo 5:
\int x^{2}e^{-x}\,dx = -x^{2}e^{-x} + 2\bigl( -(x+1)e^{-x}\bigr).
Distribuindo:
\int x^{2}e^{-x}\,dx = -x^{2}e^{-x} -2(x+1)e^{-x}.
Fatorando -e^{-x}:
\int x^{2}e^{-x}\,dx = -\bigl(x^{2}+2x+2\bigr)e^{-x}.

Passo 7

Agora juntamos com a outra parte da integral (Passo 3):
\int\left(x^{2}+1\right)e^{-x}\,dx = \int x^{2}e^{-x}\,dx + \int e^{-x}\,dx.
Substituindo os resultados:
\int\left(x^{2}+1\right)e^{-x}\,dx = -\bigl(x^{2}+2x+2\bigr)e^{-x} + \bigl(-e^{-x}\bigr) + C.
Somando os termos em e^{-x}:
\int\left(x^{2}+1\right)e^{-x}\,dx = -\bigl(x^{2}+2x+3\bigr)e^{-x} + C.
Como verificação rápida, derivar -\bigl(x^{2}+2x+3\bigr)e^{-x} devolve (x^{2}+1)e^{-x}, então o resultado está consistente.

Resposta

-\bigl(x^{2}+2x+3\bigr)e^{-x}+C

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