Calcule as seguintes integrais
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- A função integranda é a soma de duas partes:
e . - Quer-se a primitiva (integral indefinida), ou seja, um
tal que .
Não há outras condições (constante de integração será adicionada no final).
Passo 2
Conceito importante que vou usar: fórmula de integração por partes. A fórmula diz que, para funções suficientemente suaves
e
,
Aqui
é uma função que escolhemos (de onde obtemos
), e
é outra parte que integramos para obter
. Explico o que cada símbolo significa:
-
é uma função de escolhida para simplificar ao derivá-la; -
é um pedaço do integrando que vamos integrar para obter ; -
é multiplicado por (ou seja, a derivada de vezes ); -
é uma primitiva de .
Regra prática para escolher: se houver um polinômio multiplicando uma função exponencial ou trigonométrica, é comum escolher o polinômio como (porque deriva e fica menor) e a exponencial/trigonométrica como .
Passo 3
Aplicando essa ideia ao nosso integrando, é conveniente separar a integral em duas:
A integral
é direta:
A parte que precisa de atenção é
. Para ela aplicaremos integração por partes repetidamente, escolhendo
como o polinômio.
Passo 4
Calcular
pela primeira vez por partes.
Escolha:
Escolha:
Então
Aplicando a fórmula
:
Simplificando o sinal:
Passo 5
Agora calculamos
por partes (segunda aplicação).
Escolha:
Escolha:
Então
Aplicando a fórmula:
Simplificando:
E como
, obtemos
Passo 6
Voltar à expressão encontrada no Passo 4:
Substituindo o resultado do Passo 5:
Distribuindo:
Fatorando
:
Passo 7
Agora juntamos com a outra parte da integral (Passo 3):
Substituindo os resultados:
Somando os termos em
:
Como verificação rápida, derivar
devolve
, então o resultado está consistente.